Esboce as superfícies

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A tarefa é esboçar a superfície definida pela equação . Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e gráficos de funções de duas variáveis. Precisaremos compreender como essa equação se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos analisar a equação dada: . Essa equação relaciona três variáveis: , e . Note que depende apenas de , o que significa que, para qualquer valor de , o valor de será o quadrado de . Isso indica que pode assumir qualquer valor real, sem restringir a equação.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a forma da superfície. Como depende de e pode ser qualquer valor, a superfície formada é um paraboloide parabólico. Em outras palavras, se fixarmos um valor para , obtemos uma parábola no plano . Replicando isso para todos os valores de , obtemos uma superfície contínua que se estende ao longo do eixo .

Passo 4

Vamos identificar algumas características importantes da superfície:
  • Simetria: A superfície é simétrica em relação ao plano , pois a equação não envolve .
  • Vértice: O ponto mais baixo da superfície é o vértice, que ocorre quando e , ou seja, no ponto .
  • Abertura: O paraboloide se abre para cima ao longo do eixo .
  • Seções:
    • Plano : Cortando a superfície neste plano (onde ), obtemos a reta .
    • Planos paralelos ao : Para cada valor fixo de , a seção é uma parábola .

Passo 5

Com base nas características identificadas, podemos esboçar a superfície. Imagine um “infinitos” de parábolas se estendendo ao longo do eixo . A superfície terá a forma de um funil que se abre para cima, com o vértice no ponto e simetria em relação ao plano .

Resposta

A superfície definida por é um paraboloide que se abre para cima ao longo do eixo , simétrico em relação ao plano , com o vértice no ponto .

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