Esboce as superfícies
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A tarefa é esboçar a superfície definida pela equação
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e gráficos de funções de duas variáveis. Precisaremos compreender como essa equação se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos analisar a equação dada:
. Essa equação relaciona três variáveis:
,
e
. Note que
depende apenas de
, o que significa que, para qualquer valor de
, o valor de
será o quadrado de
. Isso indica que
pode assumir qualquer valor real, sem restringir a equação.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a forma da superfície. Como
depende de
e
pode ser qualquer valor, a superfície formada é um paraboloide parabólico. Em outras palavras, se fixarmos um valor para
, obtemos uma parábola no plano
. Replicando isso para todos os valores de
, obtemos uma superfície contínua que se estende ao longo do eixo
.
Passo 4
Vamos identificar algumas características importantes da superfície:
- Simetria: A superfície é simétrica em relação ao plano
, pois a equação não envolve . - Vértice: O ponto mais baixo da superfície é o vértice, que ocorre quando
e , ou seja, no ponto . - Abertura: O paraboloide se abre para cima ao longo do eixo
. - Seções:
- Plano
: Cortando a superfície neste plano (onde ), obtemos a reta . - Planos paralelos ao
: Para cada valor fixo de , a seção é uma parábola .
- Plano
Passo 5
Com base nas características identificadas, podemos esboçar a superfície. Imagine um “infinitos” de parábolas
se estendendo ao longo do eixo
. A superfície terá a forma de um funil que se abre para cima, com o vértice no ponto
e simetria em relação ao plano
.
Resposta
A superfície definida por
é um paraboloide que se abre para cima ao longo do eixo
, simétrico em relação ao plano
, com o vértice no ponto
.
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