Esboce o traço da curva parametrizada por
. Compare com a curva
do Exemplo visto em sala.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva parametrizada por no intervalo
. Além disso, temos que comparar essa curva com a curva padrão que vimos em sala. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e curvas parametrizadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva parametrizada. Basicamente, temos duas funções que dependem de um parâmetro
(que nesse caso varia de
a
) que nos dão as coordenadas
e
de pontos na curva. Para a curva padrão , sabemos que isso representa um círculo de raio 1, já que para qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a curva que a gente precisa esboçar: . Primeiro, vamos verificar se essa curva também forma um círculo. Calculando
:
Então, confirmamos que também é um círculo de raio 1, assim como a curva padrão.
Passo 4
A diferença está na frequência das funções trigonométricas. Enquanto na curva padrão temos
e , aqui temos
e . Isso significa que a curva completa duas voltas completas quando
varia de
a
, porque o argumento das funções triga o ângulo.
Passo 5
Para visualizar melhor, vamos pensar em valores específicos de
:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Notamos que a curva chega novamente ao ponto inicial após
, ou seja, faz duas voltas no intervalo de
a
.
Passo 6
Comparando com a curva padrão , que faz uma volta completa no mesmo intervalo, vemos que a curva é a mesma trajetória, mas percorrida duas vezes. Isso acontece por causa do fator
, que acelera a variação das funções trigonométricas, fazendo com que a curva complete duas voltas em vez de uma.
Resposta
A curva parametrizada por , para
, é um círculo de raio 1 que é percorrido duas vezes no intervalo dado. Comparada com a curva padrão , que completa uma volta única, a curva dada faz duas voltas completas.
Exercícios relacionados
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b) .
(b)
Calcule
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(a)
(a)
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(e)
(e)