Esboce o traço da curva parametrizada por gamma(t) (sen(2t), cos(2t)), t em [0, 2pi]. Compare com a curva γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π] do Exemplo visto em sala.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva parametrizada por no intervalo . Além disso, temos que comparar essa curva com a curva padrão que vimos em sala. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e curvas parametrizadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva parametrizada. Basicamente, temos duas funções que dependem de um parâmetro t (que nesse caso varia de 0 a ) que nos dão as coordenadas x e y de pontos na curva. Para a curva padrão , sabemos que isso representa um círculo de raio 1, já que para qualquer .

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva que a gente precisa esboçar: . Primeiro, vamos verificar se essa curva também forma um círculo. Calculando :
Então, confirmamos que também é um círculo de raio 1, assim como a curva padrão.

Passo 4

A diferença está na frequência das funções trigonométricas. Enquanto na curva padrão temos cos(t) e , aqui temos e . Isso significa que a curva completa duas voltas completas quando varia de a t, porque o argumento das funções triga o ângulo.

Passo 5

Para visualizar melhor, vamos pensar em valores específicos de t:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Notamos que a curva chega novamente ao ponto inicial após , ou seja, faz duas voltas no intervalo de a .

Passo 6

Comparando com a curva padrão , que faz uma volta completa no mesmo intervalo, vemos que a curva é a mesma trajetória, mas percorrida duas vezes. Isso acontece por causa do fator , que acelera a variação das funções trigonométricas, fazendo com que a curva complete duas voltas em vez de uma.

Resposta

A curva parametrizada por , para , é um círculo de raio 1 que é percorrido duas vezes no intervalo dado. Comparada com a curva padrão , que completa uma volta única, a curva dada faz duas voltas completas.

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