Suponha que alpha e beta sejam curvas diferenciáveis, c em R e f: R -> R uma função real diferenciável. Então,
(a) d/dt [alpha(t) + beta(t)] = alpha'(t) + beta'(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a derivada da soma de duas curvas diferenciáveis, alpha(t) e , é igual à soma das derivadas dessas curvas. Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com regras de derivação de funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções somadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão que queremos derivar:
Aqui, estamos procurando a taxa de variação da soma das curvas alpha(t) e em relação a t.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções. Essa é uma das regras básicas de derivação, chamada de regra da soma. Ou seja,

Passo 4

Aplicando a regra da soma às nossas curvas alpha(t) e , temos:

Passo 5

Simplificando as derivadas individuais, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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