Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a derivada da soma de duas curvas diferenciáveis,
e
, é igual à soma das derivadas dessas curvas. Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com regras de derivação de funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções somadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão que queremos derivar:
Aqui, estamos procurando a taxa de variação da soma das curvas
e
em relação a
.
Passo 3
Sabemos que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções. Essa é uma das regras básicas de derivação, chamada de regra da soma. Ou seja,
Passo 4
Aplicando a regra da soma às nossas curvas
e
, temos:
Passo 5
Simplificando as derivadas individuais, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Esboce o traço da curva parametrizada por
. Compare com a curva
do Exemplo visto em sala.
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b) .
(b)
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(e)
(e)
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
(e)