Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a derivada da soma de duas curvas diferenciáveis, e , é igual à soma das derivadas dessas curvas. Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com regras de derivação de funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções somadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão que queremos derivar:
Aqui, estamos procurando a taxa de variação da soma das curvas e em relação a .

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções. Essa é uma das regras básicas de derivação, chamada de regra da soma. Ou seja,

Passo 4

Aplicando a regra da soma às nossas curvas e , temos:

Passo 5

Simplificando as derivadas individuais, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Esboce o traço da curva parametrizada por . Compare com a curva do Exemplo visto em sala.
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b) .
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(e)
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .