integral d xraizx^2+4 x+5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais que contêm expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão , o que facilita a integração.

Passo 2

Vamos começar completando o quadrado na expressão dentro da raiz:
x^2 + 4x + 5
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)^2 + 1 , que é 4, dividimos por 2, dando 2, e depois elevamos ao quadrado, resultando em 4. Agora, reescrevemos a expressão:
integral dxraiz(x + 2)^2 + 1
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora que a expressão está na forma integral duraizu^2 + a^2 = ln|u + raizu^2 + a^2| + C , reconhecemos que podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma fórmula padrão para integrais desse tipo. Sabemos que:
Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a substituição, temos:
integral dxraiz(x + 2)^2 + 1 = ln|x + 2 + raiz(x + 2)^2 + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral ln|x + 2 + raiz(x + 2)^2 + 1| + C é igual a:

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