Uma escada de
está apoiada em uma parede. Se o topo da escada desliza sobre a parede para baixo com uma taxa de
, com que rapidez a base da escada estará afastando-se da parede quando o topo estiver
acima do chão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada de 13 metros encostada em uma parede. A gente precisa descobrir quão rápido a base da escada está se afastando da parede quando o topo está a 5 metros do chão. Isso envolve cálculo, mais especificamente taxas relacionadas (derivadas). Vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivar as equações para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação. Temos uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Seja
a distância da base da escada até a parede e
a altura do topo da escada na parede. Sabemos que a escada tem comprimento constante de 13 metros, então:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Essa derivada vem do Teorema de Pitágoras aplicado às taxas de variação.
Passo 4
Vamos simplificar a equação para encontrar
:
Passo 5
Sabemos que
metros e
m/s (negativo porque está descendo). Primeiro, precisamos achar
quando
:
Agora, substituímos na equação de
:
Resposta
A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de
metros por segundo quando o topo está a 5 metros do chão.