Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. Se o topo da escada desliza sobre a parede para baixo com uma taxa de 2 m/s, com que rapidez a base da escada estará afastando-se da parede quando o topo estiver 5 m acima do chão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada de 13 metros encostada em uma parede. A gente precisa descobrir quão rápido a base da escada está se afastando da parede quando o topo está a 5 metros do chão. Isso envolve cálculo, mais especificamente taxas relacionadas (derivadas). Vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivar as equações para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação. Temos uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Seja a distância da base da escada até a parede e a altura do topo da escada na parede. Sabemos que a escada tem comprimento constante de 13 metros, então:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Essa derivada vem do Teorema de Pitágoras aplicado às taxas de variação.

Passo 4

Vamos simplificar a equação para encontrar :

Passo 5

Sabemos que metros e m/s (negativo porque está descendo). Primeiro, precisamos achar quando :
Agora, substituímos na equação de :

Resposta

A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de metros por segundo quando o topo está a 5 metros do chão.

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