Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma escada de 25 pés encostada na parede de uma casa. A base dessa escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando a base está a 7 pés da parede. Aqui, vamos usar um pouco de trigonometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação como um triângulo retângulo, onde:
- A escada é a hipotenusa e mede 25 pés.
- A distância da base da escada à parede é um dos catetos, que está mudando com o tempo.
- O ângulo θ entre a escada e a parede é o que queremos encontrar a taxa de variação.
Passo 3
Vamos chamar:
-
de distância da base da escada à parede (em pés). -
do ângulo entre a escada e a parede.
Sabemos que:
-
pés/segundo (a base está se afastando). - Quando
pés, queremos encontrar .
Passo 4
Usando o teorema de Pitágoras para relacionar os lados do triângulo:
Mas como queremos relacionar
e
, vamos usar funções trigonométricas. Sabemos que:
Passo 5
Vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação:
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 6
Queremos isolar
:
Sabemos que
pode ser encontrado usando o triângulo:
E pelo Pitágoras:
Então,
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Resposta
A taxa de variação do ângulo θ é de
radianos por segundo quando a base da escada está a 7 pés da parede.
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Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao raio
do círculo para
.
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