Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma escada de 25 pés encostada na parede de uma casa. A base dessa escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando a base está a 7 pés da parede. Aqui, vamos usar um pouco de trigonometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação como um triângulo retângulo, onde:
  • A escada é a hipotenusa e mede 25 pés.
  • A distância da base da escada à parede é um dos catetos, que está mudando com o tempo.
  • O ângulo θ entre a escada e a parede é o que queremos encontrar a taxa de variação.

Passo 3

Vamos chamar:
  • de distância da base da escada à parede (em pés).
  • do ângulo entre a escada e a parede.
Sabemos que:
  • pés/segundo (a base está se afastando).
  • Quando pés, queremos encontrar .

Passo 4

Usando o teorema de Pitágoras para relacionar os lados do triângulo:
Mas como queremos relacionar e , vamos usar funções trigonométricas. Sabemos que:

Passo 5

Vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 6

Queremos isolar :
Sabemos que pode ser encontrado usando o triângulo:
E pelo Pitágoras:
é
Então,

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos na equação:

Resposta

A taxa de variação do ângulo θ é de radianos por segundo quando a base da escada está a 7 pés da parede.

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