Uma escada de 30 m , massa 40 kg , está encostada em uma parede. Se o ponto de apoio encontra-se a 10,0 m acima do solo e o centro de gravidade da escada está a um quarto de seu comprimento, medindo de cima para baixo e um homem de 70,0 kg está apoiado no meio da escada, supondo que não haja atrito entre a escada e o solo. Determinar; as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Estática, que é a parte da física que estuda os corpos em equilíbrio, ou seja, que não estão se movendo. Vamos precisar usar as leis de equilíbrio: a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos torques (ou momentos de força) também deve ser zero. Nosso objetivo é descobrir as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na escada:
  1. Peso da escada (P₁): A massa da escada é 40 kg, então o peso é . Esse peso atua no centro de gravidade da escada, que está a um quarto do comprimento da escada a partir do topo, ou seja, a do topo, ou seja, do chão.
  2. Peso do homem (P₂): A massa do homem é 70 kg, então o peso é . Ele está apoiado no meio da escada, ou seja, a 15 m do chão.
  3. Força de reação no solo ®: Como não há atrito, essa força será apenas vertical, vamos chamá-la de .
  4. Força de reação na parede (F): Sem atrito na parede, essa força será horizontal, vamos chamá-la de .

Passo 3

Vamos estabelecer nosso sistema de coordenadas: o eixo x está na horizontal e o eixo y na vertical. Como a escada está em equilíbrio, podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio:
  1. Somatório das forças na horizontal ( Fx = 0 ):
    Ry - P1 - P2 = 0
    Mas isso não faz sentido, na verdade a força na parede Ry = P1 + P2 = 392 , N + 686 , N = 1078 , N é equilibrada pela inclinação da escada. Vamos considerar melhor.
  2. Somatório das forças na vertical ( ):
    Assim,

Passo 4

Agora, vamos calcular os torques para encontrar a força na parede Comprimento da base = raiz30^2 - 10^2 = raiz900 - 100 = raiz800 approx 28,28 , m . Escolhemos o ponto de apoio no chão como o ponto de referência para calcular os torques, porque assim as forças no solo não entram na equação (se tornam zero).
O torque é dado por tau1 = P1 times 22,5 , m times cos(theta) , onde:
  • tau1 = 392 , N times 22,5 , m times 13 = 392 times 7,5 = 2940 , N·m é a força,
  • tau2 = P2 times 15 , m times cos(theta) = 686 , N times 15 , m times 13 = 686 times 5 = 3430 , N·m é a distância perpendicular ao ponto de rotação,
  • taux = Fx times 30 , m times sin(theta) é o ângulo entre a força e a posição.
Como a escada está a taux = Fx times 30 , m times 0,9428 approx Fx times 28,28 , m de altura no ponto de apoio, podemos usar trigonometria para encontrar o comprimento da base:
taux - tau1 - tau2 = 0
Agora, vamos calcular os torques:
  1. Torque pelo peso da escada ( Fx times 28,28 = 2940 + 3430 ):
    Fx times 28,28 = 6370
    Como a escada forma um triângulo retângulo, Fx = 637028,28 approx 225 , N .
  2. Torque pelo peso do homem ( ):
  3. Torque pela força na parede ( ):
    Onde .
Como o sistema está em equilíbrio, a soma dos torques deve ser zero:

Resposta

As forças exercidas pelo sistema são aproximadamente para a força vertical no solo e para a força horizontal na parede.

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