Uma escada de 30 m , massa 40 kg , está encostada em uma parede. Se o ponto de apoio encontra-se a
acima do solo e o centro de gravidade da escada está a um quarto de seu comprimento, medindo de cima para baixo e um homem de
está apoiado no meio da escada, supondo que não haja atrito entre a escada e o solo. Determinar; as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Estática, que é a parte da física que estuda os corpos em equilíbrio, ou seja, que não estão se movendo. Vamos precisar usar as leis de equilíbrio: a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos torques (ou momentos de força) também deve ser zero. Nosso objetivo é descobrir as forças exercidas pelo sistema no solo e na parede.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na escada:
-
Peso da escada (P₁): A massa da escada é 40 kg, então o peso é
. Esse peso atua no centro de gravidade da escada, que está a um quarto do comprimento da escada a partir do topo, ou seja, a do topo, ou seja, do chão. -
Peso do homem (P₂): A massa do homem é 70 kg, então o peso é
. Ele está apoiado no meio da escada, ou seja, a 15 m do chão. -
Força de reação no solo ®: Como não há atrito, essa força será apenas vertical, vamos chamá-la de
. -
Força de reação na parede (F): Sem atrito na parede, essa força será horizontal, vamos chamá-la de
.
Passo 3
Vamos estabelecer nosso sistema de coordenadas: o eixo x está na horizontal e o eixo y na vertical. Como a escada está em equilíbrio, podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio:
-
Somatório das forças na horizontal (
): Mas isso não faz sentido, na verdade a força na paredeé equilibrada pela inclinação da escada. Vamos considerar melhor. -
Somatório das forças na vertical (
): Assim,
Passo 4
Agora, vamos calcular os torques para encontrar a força na parede
. Escolhemos o ponto de apoio no chão como o ponto de referência para calcular os torques, porque assim as forças no solo não entram na equação (se tornam zero).
O torque é dado por
, onde:
-
é a força, -
é a distância perpendicular ao ponto de rotação, -
é o ângulo entre a força e a posição.
Como a escada está a
de altura no ponto de apoio, podemos usar trigonometria para encontrar o comprimento da base:
Agora, vamos calcular os torques:
-
Torque pelo peso da escada (
): Como a escada forma um triângulo retângulo,. -
Torque pelo peso do homem (
): -
Torque pela força na parede (
): Onde.
Como o sistema está em equilíbrio, a soma dos torques deve ser zero:
Resposta
As forças exercidas pelo sistema são aproximadamente
para a força vertical no solo e
para a força horizontal na parede.
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