Uma mesa possui quatro pernas, sendo que três delas têm de comprimento. A outra perna é ligeiramente maior por um valor de de modo que a mesa balança ligeiramente. Um bloco cilíndrico de aço de massa M é colocado sobre a mesa de modo que as quatro pernas ficam comprimidas e a mesa deixa de balançar. As pernas são cilíndricas de madeira de seção transversal . O módulo de Young da madeira vale . Supondo que o topo da mesa permaneça no nível horizontal e que as pernas não fiquem encurvadas. a) Calcule a força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas. b) Qual foi a variação de comprimento de cada perna?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma mesa com quatro pernas de madeira, sendo que uma delas é um pouquinho mais longa que as outras. Quando colocamos um bloco de aço pesado na mesa, todas as pernas são comprimidas de igual maneira, fazendo a mesa ficar nivelada. A gente vai usar conceitos de estática e elasticidade, especificamente o Módulo de Young, para calcular:
a) A força que o solo exerce em cada uma das quatro pernas.
b) A variação no comprimento de cada perna.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes informações:
  • Massa do bloco:
  • Área da seção transversal das pernas:
  • Módulo de Young da madeira:
  • Comprimento original das pernas:
  • Diferença de comprimento da perna maior:

Passo 2

Vamos começar calculando a força total exercida pelo bloco de aço sobre a mesa. Para isso, usamos a relação entre massa e peso:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:

Passo 3

Em seguida, vamos distribuir essa força igualmente entre as quatro pernas da mesa. Como a mesa está nivelada e as pernas estão comprimidas igualmente, cada perna suporta a mesma parte do peso total.
Substituindo:

Passo 4

Agora vamos calcular a variação no comprimento de cada perna usando o Módulo de Young. A relação que liga força, área, Módulo de Young e variação de comprimento é:
Primeiro, precisamos converter a área da seção transversal para metros quadrados:
Substituindo os valores na fórmula:
Convertendo para milímetros:

Resposta

a) A força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas é aproximadamente .
b) A variação de comprimento de cada perna é de aproximadamente .

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