Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (a) Quais serão as leituras das balanças quando Maria, que tem massa 45 kg, permanece em pé na extremidade esquerda da tábua?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tábua uniforme de 3 metros de comprimento e 35 kg de massa, apoiada em duas balanças que estão a 0,5 metros das extremidades. A Maria, que pesa 45 kg, está em pé na extremidade esquerda da tábua. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto cada balança está registrando quando a Maria está nessa posição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio estático e momentos de força.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a tábua está em equilíbrio, o que significa que a soma das forças que atuam nela é zero, e a soma dos momentos (ou torques) também é zero. As forças que atuam na tábua são:
- O peso da tábua (
), que atua no centro da tábua. - O peso da Maria (
), que está na extremidade esquerda. - As reações nas balanças (
e ).
Passo 3
Vamos calcular os pesos primeiro. O peso é dado pela massa multiplicada pela aceleração da gravidade (
).
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos onde as forças estão aplicadas:
- A tábua está apoiada a 0,5 m de cada extremidade, então as balanças estão localizadas a 0,5 m das pontas.
- O centro da tábua, onde o peso da tábua atua, está a
de cada extremidade. - A Maria está na extremidade esquerda, a 0,5 m da balança esquerda.
Passo 5
Vamos considerar o equilíbrio de momentos em relação a uma das balanças para simplificar os cálculos. Vamos escolher a balança esquerda (
) como nosso ponto de apoio. A soma dos momentos em relação a
deve ser zero.
Os momentos das forças são dados pelo produto da força pela distância perpendicular ao ponto de rotação.
Passo 6
Calculando os momentos:
- O peso da tábua (
) atua a 1,5 m do centro, então a distância em relação a é . - O peso da Maria (
) está diretamente na extremidade, a 0,5 m de . - A reação da outra balança (
) está a de .
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 8
Agora que temos
, podemos usar a soma das forças para encontrar
. A soma das forças para cima deve igualar a soma das forças para baixo:
Resposta
As leituras das balanças são aproximadamente
e
.