Uma tábua uniforme de comprimento L=3 m e massa M=35 kg está apoiada em duas balanças distantes 0,5 m das extremidades da tábua. (a) Quais serão as leituras das balanças quando Maria, que tem massa 45 kg, permanece em pé na extremidade esquerda da tábua?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tábua uniforme de 3 metros de comprimento e 35 kg de massa, apoiada em duas balanças que estão a 0,5 metros das extremidades. A Maria, que pesa 45 kg, está em pé na extremidade esquerda da tábua. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto cada balança está registrando quando a Maria está nessa posição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio estático e momentos de força.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a tábua está em equilíbrio, o que significa que a soma das forças que atuam nela é zero, e a soma dos momentos (ou torques) também é zero. As forças que atuam na tábua são:
  1. O peso da tábua ( ), que atua no centro da tábua.
  2. O peso da Maria ( ), que está na extremidade esquerda.
  3. As reações nas balanças ( e ).

Passo 3

Vamos calcular os pesos primeiro. O peso é dado pela massa multiplicada pela aceleração da gravidade ( Pt = M times g = 35 , kg times 9,8 , m/s² = 343 , N ²).
Pm = m times g = 45 , kg times 9,8 , m/s² = 441 , N ²
²

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos onde as forças estão aplicadas:
  • A tábua está apoiada a 0,5 m de cada extremidade, então as balanças estão localizadas a 0,5 m das pontas.
  • O centro da tábua, onde o peso da tábua atua, está a de cada extremidade.
  • A Maria está na extremidade esquerda, a 0,5 m da balança esquerda.

Passo 5

Vamos considerar o equilíbrio de momentos em relação a uma das balanças para simplificar os cálculos. Vamos escolher a balança esquerda ( sum MRA = 0 ) como nosso ponto de apoio. A soma dos momentos em relação a deve ser zero.
Os momentos das forças são dados pelo produto da força pela distância perpendicular ao ponto de rotação.

Passo 6

Calculando os momentos:
  • O peso da tábua ( Pt times 1,0 , m + Pm times 0,5 , m = RB times 2,0 , m ) atua a 1,5 m do centro, então a distância em relação a é .
  • O peso da Maria ( ) está diretamente na extremidade, a 0,5 m de .
  • A reação da outra balança ( ) está a de .

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
343 , N times 1,0 , m + 441 , N times 0,5 , m = RB times 2,0 , m
343 + 220,5 = 2RB
563,5 = 2RB
RB = 563,52 = 281,75 , N

Passo 8

Agora que temos RA + RB = Pt + Pm , podemos usar a soma das forças para encontrar RA + 281,75 , N = 343 , N + 441 , N . A soma das forças para cima deve igualar a soma das forças para baixo:
RA + 281,75 = 784
RA = 784 - 281,75 = 502,25 , N

Resposta

As leituras das balanças são aproximadamente e .

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