Uma escada de de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de . Com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma escada de apoiada em uma parede. O topo da escada está descendo a uma velocidade de . Queremos descobrir com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o topo está a do chão. Vamos usar conceitos de movimento relacionado e teorema de Pitágoras para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada de .
  • A altura é a distância do topo da escada até o chão.
  • A base é a distância da base da escada até a parede.
O teorema de Pitágoras nos diz que:

Passo 3

Como o topo da escada está descendo, está diminuindo com o tempo. Queremos relacionar as velocidades de e . Para isso, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo :

Passo 4

Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
Queremos encontrar , a velocidade com que a base está se afastando.

Passo 5

Rearranjamos a equação para isolar :

Passo 6

Sabemos que (negativo porque está diminuindo) e . Primeiro, encontramos quando :

Passo 7

Substituímos os valores na equação de :

Resposta

A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de quando o topo está a do chão.

Exercícios relacionados

Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de . Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for ?
Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde é a altura da tora, e são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de e são respectivamente ano, /ano e ano. Qual a taxa de aumento de no instante em que ?
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