Uma escada de
de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de
. Com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma escada de
apoiada em uma parede. O topo da escada está descendo a uma velocidade de
. Queremos descobrir com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o topo está a
do chão. Vamos usar conceitos de movimento relacionado e teorema de Pitágoras para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada de
. - A altura
é a distância do topo da escada até o chão. - A base
é a distância da base da escada até a parede.
O teorema de Pitágoras nos diz que:
Passo 3
Como o topo da escada está descendo,
está diminuindo com o tempo. Queremos relacionar as velocidades de
e
. Para isso, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
Queremos encontrar
, a velocidade com que a base está se afastando.
Passo 5
Rearranjamos a equação para isolar
:
Passo 6
Sabemos que
(negativo porque
está diminuindo) e
. Primeiro, encontramos
quando
:
Passo 7
Substituímos os valores na equação de
:
Resposta
A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
quando o topo está a
do chão.