Uma escada de
de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de
. Com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma escada de
apoiada em uma parede. O topo da escada está descendo a uma velocidade de
. Queremos descobrir com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o topo está a
do chão. Vamos usar conceitos de movimento relacionado e teorema de Pitágoras para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada de
. - A altura
é a distância do topo da escada até o chão. - A base
é a distância da base da escada até a parede.
O teorema de Pitágoras nos diz que:
Passo 3
Como o topo da escada está descendo,
está diminuindo com o tempo. Queremos relacionar as velocidades de
e
. Para isso, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
Queremos encontrar
, a velocidade com que a base está se afastando.
Passo 5
Rearranjamos a equação para isolar
:
Passo 6
Sabemos que
(negativo porque
está diminuindo) e
. Primeiro, encontramos
quando
:
Passo 7
Substituímos os valores na equação de
:
Resposta
A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
quando o topo está a
do chão.
Exercícios relacionados
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for
?
Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde
é a altura da tora,
e
são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de
e
são respectivamente
ano,
/ano e
ano. Qual a taxa de aumento de
no instante em que
?
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.