Uma escada de pedreiro de 6m de comprimento esta apoiada em uma parede. Se o pé da escada dista 4m dessa parede, determine:
a) A medida do ângulo que a escada forma com a parede.
b) A altura que o ponto mais alto da escada atinge em relaçao ao solo.
Considere √5=2,24
a) A medida do ângulo que a escada forma com a parede.
b) A altura que o ponto mais alto da escada atinge em relaçao ao solo.
Considere √5=2,24
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma escada de 6 metros de comprimento apoiada em uma parede, com o pé da escada a 4 metros de distância dessa parede. Precisamos encontrar:
a) O ângulo que a escada forma com a parede.
b) A altura que o ponto mais alto da escada alcança em relação ao solo.
a) O ângulo que a escada forma com a parede.
b) A altura que o ponto mais alto da escada alcança em relação ao solo.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente as funções seno e cosseno, que relacionam os lados de um triângulo retângulo com seus ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada, com 6 metros.
- Um cateto é a distância da escada à parede, que é 4 metros.
- O outro cateto será a altura que a escada alcança na parede, que vamos chamar de $ h $.
Passo 3
Vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura $ h $. O teorema diz que em um triângulo retângulo:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Calculando os quadrados:
Agora, vamos isolar $ h^2 $:
Passo 5
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ h $:
Então, a altura que a escada alcança na parede é aproximadamente 4,48 metros.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo que a escada forma com a parede, que vamos chamar de $ \theta $. Para isso, podemos usar a função cosseno, que relaciona o cateto adjacente (distância da escada à parede) com a hipotenusa (comprimento da escada):
Passo 7
Para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função inversa do cosseno:
Calculando isso, encontramos:
Resposta
a) O ângulo que a escada forma com a parede é aproximadamente $ 48,19^\circ $.
b) A altura que o ponto mais alto da escada alcança em relação ao solo é aproximadamente 4,48 metros.