Uma escada uniforme de comprimento
e massa
, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático
, está encostada a uma parede lisa (atrito desprezível), formando um ângulo
com a parede. Qual é a distância
máxima que uma pessoa de massa
pode subir pela escada sem que ela escorregue? Forneça a resposta em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma escada uniforme com comprimento
e massa
apoiada no chão com atrito estático de coeficiente
. A escada está encostada em uma parede lisa, formando um ângulo
com a parede. Queremos descobrir até que distância
uma pessoa com massa
pode subir na escada sem que ela deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, especialmente o equilíbrio de forças e momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de corpo livre da escada. As forças que atuam são:
- O peso da escada,
, atuando no centro da escada. - O peso da pessoa,
, atuando no ponto onde a pessoa está. - A força normal da parede, que é horizontal, já que a parede é lisa.
- A força normal do chão, que é vertical.
- A força de atrito no chão, que impede o deslizamento da escada.
Passo 3
Como a parede é lisa, a única força que a parede exerce sobre a escada é a força normal horizontal, que chamaremos de
. No chão, além da força normal vertical
, existe a força de atrito
, que atua na direção oposta ao possível deslizamento da escada.
Passo 4
Para que a escada não deslize, as somas das forças nas direções horizontal e vertical devem ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero. Vamos escrever essas equações de equilíbrio.
Passo 5
Equilíbrio na direção vertical:
Equilíbrio na direção horizontal:
E como o atrito máximo é
, temos:
Passo 6
Agora, vamos considerar o equilíbrio dos momentos. Escolhemos o ponto de contato com o chão como pivô para facilitar os cálculos, pois assim a força normal e o atrito não contribuem para o momento.
O momento devido ao peso da escada:
O momento devido ao peso da pessoa:
O momento devido à força normal da parede:
Para equilíbrio:
Passo 7
Substituindo
pela expressão encontrada anteriormente:
Podemos simplificar o
e dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Resposta
A distância máxima
que a pessoa pode subir sem que a escada escorregue é: