Uma escada uniforme de comprimento L e massa M, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático mue, está encostada a uma parede lisa (atrito desprezível), formando um ângulo theta com a parede. Qual é a distância d máxima que uma pessoa de massa m pode subir pela escada sem que ela escorregue? Forneça a resposta em função de M, m, L, mue e theta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma escada uniforme com comprimento e massa apoiada no chão com atrito estático de coeficiente . A escada está encostada em uma parede lisa, formando um ângulo com a parede. Queremos descobrir até que distância uma pessoa com massa pode subir na escada sem que ela deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, especialmente o equilíbrio de forças e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama de corpo livre da escada. As forças que atuam são:
  1. O peso da escada, , atuando no centro da escada.
  2. O peso da pessoa, , atuando no ponto onde a pessoa está.
  3. A força normal da parede, que é horizontal, já que a parede é lisa.
  4. A força normal do chão, que é vertical.
  5. A força de atrito no chão, que impede o deslizamento da escada.

Passo 3

Como a parede é lisa, a única força que a parede exerce sobre a escada é a força normal horizontal, que chamaremos de . No chão, além da força normal vertical , existe a força de atrito , que atua na direção oposta ao possível deslizamento da escada.

Passo 4

Para que a escada não deslize, as somas das forças nas direções horizontal e vertical devem ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero. Vamos escrever essas equações de equilíbrio.

Passo 5

Equilíbrio na direção vertical:
Nc - M cdot g - m cdot g = 0
Nc = M cdot g + m cdot g
Equilíbrio na direção horizontal:
N = f
E como o atrito máximo é N = mue cdot (M + m) cdot g , temos:

Passo 6

Agora, vamos considerar o equilíbrio dos momentos. Escolhemos o ponto de contato com o chão como pivô para facilitar os cálculos, pois assim a força normal e o atrito não contribuem para o momento.
O momento devido ao peso da escada:
tauescada = L2 cdot M cdot g cdot cos(theta)
O momento devido ao peso da pessoa:
taupessoa = d cdot m cdot g cdot cos(theta)
O momento devido à força normal da parede:
tauN = L cdot N cdot sin(theta)
Para equilíbrio:
tauN = tauescada + taupessoa
L cdot N cdot sin(theta) = L2 cdot M cdot g cdot cos(theta) + d cdot m cdot g cdot cos(theta)

Passo 7

Substituindo L cdot mue cdot (M + m) cdot g cdot sin(theta) = L2 cdot M cdot g cdot cos(theta) + d cdot m cdot g cdot cos(theta) pela expressão encontrada anteriormente:
mue cdot (M + m) cdot sin(theta) = M2 cdot cos(theta) + d cdot m cdot cos(theta)L
Podemos simplificar o e dividir ambos os lados por :

Passo 8

Agora, isolamos d cdot m cdot cos(theta)L = mue cdot (M + m) cdot sin(theta) - M2 cdot cos(theta) :
d = Lm cdot cos(theta) [ mue cdot (M + m) cdot sin(theta) - M2 cdot cos(theta) ]

Resposta

A distância máxima d = Lm cdot cos(theta) [ mue cdot (M + m) cdot sin(theta) - M2 cdot cos(theta) ] que a pessoa pode subir sem que a escada escorregue é:

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