Uma sirene com frequência f0=2000 Hz é fixada em um bloco resultando em uma massa total de 2,000 kg . O bloco é conectado a uma mola de constante elástica k. A mola é comprimida de uma certa distancia e então é solta. A sirene e o bloco oscilam em vai-e-vem. Um observador ouve o som emitido pela fonte variando em frequência, uma vez que a sirene está se movendo. A maior frequência observada é de 2060 Hz e ela ocorre a cada 1,50 s. Considerando a velocidade do som igual a 343 m / s. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade do bloco quando é observada a maior frequência?
b) Onde se encontra o bloco quando a maior frequência é observada?
c) Qual a menor frequência ouvida e qual a posição do bloco neste momento?
d) Quais são o período e a velocidade angular do bloco?
e) Qual a amplitude (A) da oscilação (deslocamento) do bloco?
f) Qual o valor da constante elástica da mola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sirene com frequência de 2000 Hz fixada num bloco de 2 kg, conectado a uma mola. Quando a mola é comprimida e solta, o bloco oscila, fazendo a sirene se mover e assim variando a frequência que um observador ouve. A maior frequência ouvida é 2060 Hz, e isso acontece a cada 1,50 segundos. A gente vai usar conceitos de ondas sonoras e movimento oscilatório para resolver as perguntas.

Passo 2

Parte a) Qual a velocidade do bloco quando é observada a maior frequência?
Primeiro, precisamos entender como a frequência observada muda devido ao efeito Doppler quando a fonte está se movendo. A fórmula do efeito Doppler para a frequência observada f' = f01 - vsv quando a fonte se move em direção ao observador é:
2060 = 20001 - vs343 1 - vs343 = 20002060 vs343 = 1 - 20002060 vs343 = 602060 vs = 343 times 602060 vs approx 343 times 0.0291 vs approx 9.97 m/s
Onde:
  • Hz é a frequência emitida.
  • Hz é a frequência observada.
  • é a velocidade da fonte (bloco).
  • m/s é a velocidade do som.
Vamos isolar :

Passo 3

Parte b) Onde se encontra o bloco quando a maior frequência é observada?
A maior frequência ocorre quando a sirene está se movendo em direção ao observador, ou seja, quando o bloco está na posição de passagem pelo ponto de equilíbrio e sua velocidade é máxima. Portanto, o bloco está passando pelo ponto de equilíbrio quando a maior frequência é observada.

Passo 4

Parte c) Qual a menor frequência ouvida e qual a posição do bloco neste momento?
A menor frequência ocorre quando a sirene está se afastando do observador. Usando a mesma fórmula do efeito Doppler, mas agora a fonte se afasta:
f' = f01 + vsv
Substituindo os valores:
f' = 20001 + 9.97343 f' = 20001 + 0.0291 f' = 20001.0291 f' approx 1946 Hz
A posição do bloco quando a menor frequência é ouvida é o ponto mais distante da posição de equilíbrio, ou seja, na amplitude máxima da oscilação.

Passo 5

Parte d) Quais são o período e a velocidade angular do bloco?
Sabemos que a maior frequência observada ocorre a cada 1,50 segundos, que é o tempo entre duas passagens consecutivas pelo ponto de equilíbrio (um ciclo completo é duas passagens pelo equilíbrio). Portanto, o período T = 2 times 1,50 s = 3,00 s da oscilação é:
omega = 2piT = 2pi3 approx 2,094 rad/s
A velocidade angular está relacionada ao período pela fórmula:

Passo 6

Parte e) Qual a amplitude (A) da oscilação (deslocamento) do bloco?
Sabemos que a velocidade máxima vmax = omega A ocorre quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio:
A = vmaxomega = 9,972,094 approx 4,766 m
Já calculamos m/s e rad/s, então:

Passo 7

Parte f) Qual o valor da constante elástica da mola?
Usamos a fórmula da frequência angular para um sistema massa-mola:
omega = raizkm
Isolando k = m omega^2 :
k = 2,000 times (2,094)^2 approx 2,000 times 4,385 approx 8770 N/m
Substituindo os valores kg e rad/s:

Resposta

a) A velocidade do bloco é aproximadamente 9,97 m/s.

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