Usando o Teorema de Gauss para obter o fluxo do campo através da superfície (orientada positivamente) onde e é a fronteira do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície usando o Teorema de Gauss. A superfície é a fronteira do sólido , que é limitado pelo parabolóide e pelo plano . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por . Matemáticamente, fica assim:
Aqui, é a divergência do campo .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . Dada:
A divergência é:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para o volume . O sólido está entre o parabolóide e o plano . É mais fácil resolver isso em coordenadas cilíndricas, onde:
Na coordenada cilíndrica:
Então, os limites ficam:
  • vai de a (já que )
  • vai de a
  • vai de até

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo usando o Teorema de Gauss:
Aqui, em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em :

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é .

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