Usando o Teorema de Gauss para obter o fluxo do campo
através da superfície
(orientada positivamente) onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo parabolóide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
usando o Teorema de Gauss. A superfície
é a fronteira do sólido
, que é limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matemáticamente, fica assim:
Aqui,
é a divergência do campo
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Dada:
A divergência é:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para o volume
. O sólido
está entre o parabolóide
e o plano
. É mais fácil resolver isso em coordenadas cilíndricas, onde:
Na coordenada cilíndrica:
Então, os limites ficam:
-
vai de a (já que dá ) -
vai de a -
vai de até
Passo 5
Vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo usando o Teorema de Gauss:
Aqui,
em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é a curva interseção do cilindro
com o plano
.
Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo:
Calcule a derivada das seguintes funçöes:
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
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