Para um escoamento no plano x y, a componente y da velocidade é dada por v=y^2-2 x+2 y. Encontre uma possível componente x para escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fluxo em um plano , onde a componente da velocidade é dada por . Nosso objetivo é encontrar uma componente que faça esse fluxo ser permanente (ou seja, não muda com o tempo) e incompressível (a densidade do fluido não varia). Além disso, vamos verificar se essa componente também funciona para fluxos que não são permanentes e contar quantas opções temos para a componente .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um fluxo ser incompressível, a divergência do vetor velocidade deve ser zero. Em termos matemáticos, isso significa:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Onde é a componente da velocidade e é a componente .

Passo 3

Sabemos que partial vpartial y = 2y + 2 . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de incompressibilidade:
partial upartial x + 2y + 2 = 0
Isolando partial upartial x = - (2y + 2) :

Passo 5

Para encontrar u = integral - (2y + 2) , dx = - (2y + 2) x + C(y) , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 6

Porém, como o fluxo é permanente, u = - (2y + 2) x + C(y) não depende do tempo, mas pode depender de . Assim, temos:
Essa é uma das possíveis componentes que satisfazem as condições dadas.

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa componente também é válida para fluxos incompressíveis que não são permanentes. Se o fluxo não é permanente, poderia depender do tempo, mas nossa expressão para não inclui termos de tempo. Portanto, essa componente não é válida para fluxos não permanentes.

Passo 8

Por último, vamos contar quantas possíveis componentes v = y^2 - 2x + 2y existem. No enunciado, já foi dada uma única expressão para :
Portanto, há apenas uma possível componente definida para esse fluxo.

Resposta

A componente para um fluxo permanente e incompressível é . Essa componente não é válida para fluxos incompressíveis não-permanentes porque não considera variações no tempo. Há apenas uma possível componente definida para o fluxo.

Exercícios relacionados