Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fluxo em um plano
, onde a componente
da velocidade é dada por
. Nosso objetivo é encontrar uma componente
que faça esse fluxo ser permanente (ou seja, não muda com o tempo) e incompressível (a densidade do fluido não varia). Além disso, vamos verificar se essa componente
também funciona para fluxos que não são permanentes e contar quantas opções temos para a componente
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para um fluxo ser incompressível, a divergência do vetor velocidade deve ser zero. Em termos matemáticos, isso significa:
Onde
é a componente
da velocidade e
é a componente
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de incompressibilidade:
Isolando
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 6
Porém, como o fluxo é permanente,
não depende do tempo, mas pode depender de
. Assim, temos:
Essa é uma das possíveis componentes
que satisfazem as condições dadas.
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa componente
também é válida para fluxos incompressíveis que não são permanentes. Se o fluxo não é permanente,
poderia depender do tempo, mas nossa expressão para
não inclui termos de tempo. Portanto, essa componente
não é válida para fluxos não permanentes.
Passo 8
Por último, vamos contar quantas possíveis componentes
existem. No enunciado, já foi dada uma única expressão para
:
Portanto, há apenas uma possível componente
definida para esse fluxo.
Resposta
A componente
para um fluxo permanente e incompressível é
. Essa componente
não é válida para fluxos incompressíveis não-permanentes porque não considera variações no tempo. Há apenas uma possível componente
definida para o fluxo.
Exercícios relacionados
Ar, no estado padrão, escoa num duto horizontal de ferro galvanizado que apresenta seção transversal retangular
por
com uma vazão de
. Determine a queda de pressão, em mm de coluna d
Água é bombeada à taxa de
de um reservatório que está 20 ft acima de uma bomba para uma descarga livre 90 ft acima da bomba. A pressão no lado da admissão da bomba é 5 psig e no lado da descarga é 50 psig . Todos os tubos são de aço comercial com diâmetro nominal de 6 in. Determine a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre.
Glicerina a
escoa para cima num tubo (diâmetro
). A velocidade na linha de centro do tubo é igual a
. Determine a perda de carga e a queda de pressão sabendo que o comprimento do tubo é igual a 10 m.
Considere um perfil parabólico de velocidade
, determine:
b) a tensão de cisalhamento em e
Dado: fluido com viscosidade
b) a tensão de cisalhamento em
Dado: fluido com viscosidade