Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação linear;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar e expressar, em um escoamento tridimensional, a taxa de deformação linear usando a velocidade e suas derivadas. Vamos precisar entender um pouco sobre escoamentos e como a velocidade muda no espaço para conseguir descrever essa taxa de deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o escoamento tridimensional. Isso significa que a velocidade do fluido pode variar em três direções diferentes: , e . Vamos chamar as componentes da velocidade de , e nessas direções, respectivamente. Então, a velocidade do fluido é .
Passo 3
A taxa de deformação linear é uma forma de medir como um elemento de fluido está se deformando ao longo do tempo. Para isso, precisamos ver como a velocidade muda no espaço, ou seja, as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.
Passo 4
Vamos montar a matriz das derivadas da velocidade, também conhecida como tensor gradiente de velocidade. Ela fica assim:
Passo 5
A taxa de deformação linear é a parte simétrica desse tensor gradiente de velocidade. Ou seja, pegamos a matriz acima e somamos com sua transposta, dividindo por 2. Isso elimina qualquer rotação e deixa só a parte que representa deformação.
Passo 6
Então, a taxa de deformação fica:
Passo 7
Simplificando, cada componente da taxa de deformação fica:
onde e são as componentes da velocidade nas direções e .
Resposta
A taxa de deformação linear em um escoamento tridimensional é dada por: