Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação linear;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar e expressar, em um escoamento tridimensional, a taxa de deformação linear usando a velocidade e suas derivadas. Vamos precisar entender um pouco sobre escoamentos e como a velocidade muda no espaço para conseguir descrever essa taxa de deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o escoamento tridimensional. Isso significa que a velocidade do fluido pode variar em três direções diferentes: , e . Vamos chamar as componentes da velocidade de , e nessas direções, respectivamente. Então, a velocidade do fluido é .

Passo 3

A taxa de deformação linear é uma forma de medir como um elemento de fluido está se deformando ao longo do tempo. Para isso, precisamos ver como a velocidade muda no espaço, ou seja, as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 4

Vamos montar a matriz das derivadas da velocidade, também conhecida como tensor gradiente de velocidade. Ela fica assim:

Passo 5

A taxa de deformação linear é a parte simétrica desse tensor gradiente de velocidade. Ou seja, pegamos a matriz acima e somamos com sua transposta, dividindo por 2. Isso elimina qualquer rotação e deixa só a parte que representa deformação.

Passo 6

Então, a taxa de deformação fica:

Passo 7

Simplificando, cada componente da taxa de deformação fica:
onde e são as componentes da velocidade nas direções e .

Resposta

A taxa de deformação linear em um escoamento tridimensional é dada por:

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A tensão cisalhante é dada por ;