Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação linear;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar e expressar, em um escoamento tridimensional, a taxa de deformação linear usando a velocidade e suas derivadas. Vamos precisar entender um pouco sobre escoamentos e como a velocidade muda no espaço para conseguir descrever essa taxa de deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o escoamento tridimensional. Isso significa que a velocidade do fluido pode variar em três direções diferentes: , e . Vamos chamar as componentes da velocidade de , e nessas direções, respectivamente. Então, a velocidade do fluido é .

Passo 3

A taxa de deformação linear é uma forma de medir como um elemento de fluido está se deformando ao longo do tempo. Para isso, precisamos ver como a velocidade muda no espaço, ou seja, as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 4

Vamos montar a matriz das derivadas da velocidade, também conhecida como tensor gradiente de velocidade. Ela fica assim:
nabla v = partial upartial x & partial upartial y & partial upartial z partial vpartial x & partial vpartial y & partial vpartial z partial wpartial x & partial wpartial y & partial wpartial z

Passo 5

A taxa de deformação linear é a parte simétrica desse tensor gradiente de velocidade. Ou seja, pegamos a matriz acima e somamos com sua transposta, dividindo por 2. Isso elimina qualquer rotação e deixa só a parte que representa deformação.

Passo 6

Então, a taxa de deformação D = 12 ( nabla v + (nabla v)^T ) = 12 2partial upartial x & partial upartial y + partial vpartial x & partial upartial z + partial wpartial x partial vpartial x + partial upartial y & 2partial vpartial y & partial vpartial z + partial wpartial y partial wpartial x + partial upartial z & partial wpartial y + partial vpartial z & 2partial wpartial z fica:

Passo 7

Simplificando, cada componente da taxa de deformação fica:
Dij = 12 ( partial vipartial xj + partial vjpartial xi )
onde e são as componentes da velocidade nas direções e .

Resposta

A taxa de deformação linear em um escoamento tridimensional é dada por:
Dij = 12 ( partial vipartial xj + partial vjpartial xi )

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