Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de rotação;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está relacionado ao escoamento tridimensional e pede para demonstrar e expressar a taxa de rotação em termos da velocidade e das derivadas da velocidade. Isso faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos, especificamente envolvendo conceitos como vorticidade e derivadas espaciais da velocidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a taxa de rotação (ou vorticidade) está relacionada ao campo de velocidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a taxa de rotação ou vorticidade. Em mecânica dos fluidos, a vorticidade é uma grandeza vetorial que representa a tendência das partículas do fluido de girar ou rotacionar em torno de um ponto. Matematicamente, a vorticidade (
) é definida como o rotor (ou rotacional) do campo de velocidade (
).
Passo 3
Para expressar a vorticidade em termos das derivadas da velocidade, usamos a operação matemática de rotacional (
). Isso significa que vamos calcular o rotacional do vetor velocidade para obter a vorticidade. Em coordenadas cartesianas tridimensionais, isso fica:
Aqui,
é o campo de velocidade do fluido nas direções
,
e
.
Passo 4
Vamos entender cada termo dessa expressão:
-
e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente. -
e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente. -
e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente.
Essas derivadas nos indicam como a velocidade do fluido varia no espaço, e a combinação delas nos dá a vorticidade, ou seja, a taxa de rotação do fluido.
Resposta
A taxa de rotação (vorticidade) para um escoamento tridimensional é dada por:
Exercícios relacionados
onde
é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a
com velocidade máxima de
e
. Calcule a força sobre uma seção de
da placa inferior e dê o seu sentido.
onde
é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a
e
. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação linear;
Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação por cisalhamento.