Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de rotação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está relacionado ao escoamento tridimensional e pede para demonstrar e expressar a taxa de rotação em termos da velocidade e das derivadas da velocidade. Isso faz parte da matéria de Mecânica dos Fluidos, especificamente envolvendo conceitos como vorticidade e derivadas espaciais da velocidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a taxa de rotação (ou vorticidade) está relacionada ao campo de velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a taxa de rotação ou vorticidade. Em mecânica dos fluidos, a vorticidade é uma grandeza vetorial que representa a tendência das partículas do fluido de girar ou rotacionar em torno de um ponto. Matematicamente, a vorticidade ( ) é definida como o rotor (ou rotacional) do campo de velocidade ( ).

Passo 3

Para expressar a vorticidade em termos das derivadas da velocidade, usamos a operação matemática de rotacional ( ). Isso significa que vamos calcular o rotacional do vetor velocidade para obter a vorticidade. Em coordenadas cartesianas tridimensionais, isso fica:
Aqui, é o campo de velocidade do fluido nas direções , e .

Passo 4

Vamos entender cada termo dessa expressão:
  • e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente.
  • e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente.
  • e são as derivadas parciais da componente em relação a e da componente em relação a , respectivamente.
Essas derivadas nos indicam como a velocidade do fluido varia no espaço, e a combinação delas nos dá a vorticidade, ou seja, a taxa de rotação do fluido.

Resposta

A taxa de rotação (vorticidade) para um escoamento tridimensional é dada por:

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onde é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
onde é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
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