uumax=1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de fluxo de água entre duas placas paralelas. A equação que descreve a velocidade do fluxo é:
uumax=1-(2 yh)^2
Conteúdo da matéria: Mecânica dos Fluidos, especificamente o estudo de escoamentos laminares entre placas paralelas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender a relação entre a velocidade do fluido e a posição entre as placas.
  • Calcular a força exercida pelo fluido na placa inferior usando a viscosidade.
  • Conhecer a viscosidade da água a 15°C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a viscosidade da água a 15°C, que é essencial para calcular a força. A viscosidade dinâmica ( ) da água a essa temperatura é aproximadamente .

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a derivada da velocidade u = umax [1 - (2 yh)^2] em relação à posição dudy = umax [0 - 2 cdot 2 yh^2 cdot 2] = -4 umax yh^2 , ou seja, . Essa derivada nos dá a taxa de variação da velocidade com a posição, que é necessária para calcular a tensão de cisalhamento ( ).
Vamos derivar a equação da velocidade:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento ( tau = mu cdot dudy ), que é dada por:
tau = mu cdot (-4 umax yh^2)
Usando a derivada que encontramos:
tau = mu cdot (-4 umax (-h2)h^2) = mu cdot (2 umaxh)
Como estamos interessados na força sobre a placa inferior, consideramos a posição (já que a origem está na linha mediana). Substituindo :

Passo 5

Agora, podemos calcular a força ( F = tau cdot A ) usando a tensão de cisalhamento e a área ( F = mu cdot (2 umaxh) cdot A ) da seção da placa:
Substituindo :

Passo 6

Vamos inserir os valores conhecidos:
  • F = 1,14 times 10^-3 cdot (2 times 0,050,001) cdot 1
  • F = 1,14 times 10^-3 cdot 100 cdot 1 = 1,14 times 10^-1 , N
Substituindo na equação:
Calculando:

Passo 7

Finalmente, determinamos o sentido da força. Como a água está se movendo em direção positiva , a força exercida pelo fluido na placa inferior será para cima, tentando empurrar a placa na direção positiva de .

Resposta

A força sobre a seção de da placa inferior é de aproximadamente para cima.

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