uumax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com umax =0,10 m / s e h=0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma equação que descreve o perfil de velocidade de um fluxo de água entre duas placas paralelas. O conteúdo envolve dinâmica de fluidos, especificamente a análise de escoamento entre placas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a tensão de cisalhamento a partir do perfil de velocidade dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do perfil de velocidade:
uumax = 1 - (2 yh)^2
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima na linha mediana, e é a distância entre as placas. Essa é uma parabola que descreve como a velocidade varia de uma placa para outra.

Passo 3

A tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ) em um fluido é relacionada à viscosidade ( ) e ao gradiente de velocidade ( ) pela equação:
Vamos precisar calcular a partir da equação do perfil de velocidade.

Passo 4

Calculando a derivada de u = umax (1 - (2 yh)^2) em relação a dudy = umax (-2 cdot 2h^2 cdot y ) = -4 umax yh^2 :
Derivando:

Passo 5

Na placa superior, dudyg|y = h2 = -4 umax cdot h2h^2 = -2 umaxh . Substituindo na derivada:

Passo 6

Agora, vamos calcular a viscosidade da água a . A viscosidade dinâmica ( ) da água a essa temperatura é aproximadamente .

Passo 7

Substituindo os valores na equação da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot dudy = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s cdot (-2 times 0,10 , m/s0,25 times 10^-3 , m)
Calculando:
tau = 1,14 times 10^-3 times (-0,200,25 times 10^-3) = 1,14 times 10^-3 times (-800) = -0,912 , Pa

Passo 8

O valor negativo indica que a tensão de cisalhamento está direcionada na direção oposta ao movimento da placa, ou seja, atua para resistir ao escoamento.

Passo 9

Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal, observamos que:
  • A tensão é máxima nas placas (onde )
  • Diminui até zero na linha mediana ( )
Isso resulta em uma distribuição parabólica da tensão de cisalhamento.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é e atua no sentido oposto ao movimento da placa, ou seja, para resistir ao escoamento. A variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal apresenta um perfil parabólico, com máxima intensidade nas placas e zerando na linha mediana.

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