Em um escoamento tridimensional, o vetor velocidade de um fluido é dado por , no sistema de coordenadas cartesianas. Calcule o gradiente, a divergência e o rotacional do campo de velocidade e discuta a relevância desses conceitos em termos de conservação de massa e vorticidade no contexto de fenômenos de transporte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade de um fluido dado por nas coordenadas cartesianas. Nosso objetivo é calcular o gradiente, a divergência e o rotacional desse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo vetorial, especificamente como calcular essas operações e o que elas significam fisicamente, como conservação de massa e vorticidade em fenômenos de transporte.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente do campo de velocidade. O gradiente, em termos simples, nos mostra como cada componente da velocidade muda no espaço. Para um campo vetorial , o gradiente é uma matriz chamada de tensor jacobiano, onde cada elemento representa a taxa de variação de em relação a .
Então, vamos derivar cada componente da velocidade em relação a cada coordenada:
Calculando cada derivada:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo de velocidade. A divergência nos dá uma ideia de como o fluido está se expandindo ou contraindo em um ponto; por exemplo, uma divergência positiva indica uma fonte (fluido saindo), enquanto negativa indica um sumidouro (fluido entrando).
Matematicamente, para , a divergência é:
Usando as derivadas que já calculamos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o rotacional (ou **rotacional) do campo de velocidade, que nos indica a presença de vórtices ou rotação no fluido. Se o rotacional for zero, o fluxo é irrotacional.
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Substituindo as derivadas:
Então, o rotacional é zero, indicando que o fluxo é irrotacional.

Passo 5

Vamos discutir a relevância desses conceitos:
  • Gradiente: Mostra como a velocidade muda no espaço, o que é crucial para entender a deformação do fluido e a transferência de momentum.
  • Divergência: Relaciona-se com a conservação de massa. Se a divergência for zero ( ), significa que a massa está sendo conservada sem fontes ou sumidouros no fluxo.
  • Rotacional: Relaciona-se com a vorticidade do fluido. Um rotacional nulo implica que não há rotação local das partículas do fluido, ou seja, o fluxo é irrotacional, o que simplifica a análise de muitos fenômenos de transporte.
No nosso caso, a divergência não é zero, indicando que há regiões onde a massa não está sendo conservada (possíveis fontes ou sumidouros). Já o rotacional sendo zero confirma que o fluxo é irrotacional, o que influencia a maneira como as partículas do fluido se deslocam.

Resposta

O gradiente do campo de velocidade é:
A divergência é:
O rotacional é:
Esses resultados indicam que o fluxo possui variações na velocidade, não conserva massa uniformemente devido à divergência não nula e é irrotacional, ou seja, não apresenta vorticidade.

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