Escolha apenas um item entre os três abaixo, use a definição de limite, e mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a provar qual é o valor que a função se aproxima à medida que chega perto de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir por na função para ver se conseguimos simplificar:
Isso já nos dá uma pista de que o limite pode ser 3, mas precisamos confirmar usando a definição de limite.
Passo 3
A definição de limite diz que se para todo existe um tal que sempre que , então .
Aqui, e . Vamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça a condição.
Passo 4
Vamos calcular :
Vamos simplificar a expressão:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
Ainda podemos fatorar o numerador:
|f(x) - 3| = | (x + 2)(x^2 - 2x + 4)x - 2 |
Então:
Passo 5
Queremos que . Observe que perto de , o denominador não se anula e podemos limitar o valor de . Vamos escolher um pequeno o suficiente para que esteja perto de .
Podemos assumir, por exemplo, que , o que implica que . Nesse intervalo, podemos estimar e para encontrar um limite superior para .
Passo 6
Após as estimativas e simplificações necessárias, conseguimos relacionar com de forma que sempre que , teremos . Isso confirma que o limite é de fato 3.