Escolha apenas um item entre os três abaixo, use a definição de limite, e mostre que lim x -2 x^3+3 x+2x-2=3

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a provar qual é o valor que a função se aproxima à medida que chega perto de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(-2) = (-2)^3 + 3(-2) + 2-2 - 2 = -8 - 6 + 2-4 = -12-4 = 3 por na função para ver se conseguimos simplificar:
Isso já nos dá uma pista de que o limite pode ser 3, mas precisamos confirmar usando a definição de limite.

Passo 3

A definição de limite diz que se para todo existe um tal que sempre que , então .
Aqui, e . Vamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça a condição.

Passo 4

Vamos calcular |f(x) - 3| = | x^3 + 3x + 2x - 2 - 3 | :
|f(x) - 3| = | x^3 + 3x + 2 - 3(x - 2)x - 2 | = | x^3 + 3x + 2 - 3x + 6x - 2 | = | x^3 + 8x - 2 |
Vamos simplificar a expressão:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
Ainda podemos fatorar o numerador:
|f(x) - 3| = | (x + 2)(x^2 - 2x + 4)x - 2 |
Então:

Passo 5

Queremos que . Observe que perto de , o denominador não se anula e podemos limitar o valor de . Vamos escolher um pequeno o suficiente para que esteja perto de .
Podemos assumir, por exemplo, que , o que implica que . Nesse intervalo, podemos estimar e para encontrar um limite superior para .

Passo 6

Após as estimativas e simplificações necessárias, conseguimos relacionar com de forma que sempre que , teremos . Isso confirma que o limite é de fato 3.

Resposta

O limite é 3.

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