Usando as propriedades de limites e/ou alguns artifícios algébricos, se necessário, calcule os seguintes limites: lim x -infty[5 x^2x-1-5 x^2x+1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais (que são frações polinomiais) quando vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos de maior grau nos polinômios influenciam o comportamento da função quando cresce muito (positiva ou negativamente).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos duas frações que envolvem 5x^2x-1 - 5x^2x+1 no numerador e nos denominadores. Vamos subtrair essas duas frações:
Para subtrair frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui é .

Passo 3

Vamos reescrever as duas frações com o denominador comum:
5x^2(x+1) - 5x^2(x-1)(x-1)(x+1)
Agora, vamos distribuir 5x^3 + 5x^2 - 5x^3 + 5x^2x^2 - 1 nos numeradores:

Passo 4

Simplificando o numerador:
5x^3 + 5x^2 - 5x^3 + 5x^2 = 10x^2
Então, a expressão fica:
10x^2x^2 - 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite:
lim x -infty 10x^2x^2 - 1
Quando lim x -infty 101 - 1x^2 tende a menos infinito, os termos de menor grau (como -1) se tornam insignificantes comparados a . Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 6

Como 101 - 0 = 10 vai para menos infinito, tende a 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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Usando as propriedades de limites e/ou alguns artifícios algébricos, se necessário, calcule os seguintes limites: lim x 2 2 x-4raiz[5]x-1-1
Sabendo-se que
f(x)=5+4 cos (5 x)+pi^x^2 sen(x^2+4x^2)
determine lim x 0 f(x).