Usando as propriedades de limites e/ou alguns artifícios algébricos, se necessário, calcule os seguintes limites: lim x 2 2 x-4raiz[5]x-1-1

Passo 1

Vamos calcular o limite
lim x 2 2 x-4raiz[5]x-1-1
Usaremos propriedades de limites e técnicas algébricas para simplificar a expressão e encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, substituímos 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0 diretamente na expressão para verificar se conseguimos resolver facilmente:
No numerador:
raiz[5]2 - 1 - 1 = raiz[5]1 - 1 = 1 - 1 = 0
No denominador:
Isso resulta em uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador 2x - 4 = 2(x - 2) :
2(x - 2)raiz[5]x -1 -1
Agora a expressão fica:

Passo 4

Para lidar com o denominador que contém uma raiz quintas, usamos uma técnica de racionalização. Sabemos que:
a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4)
Aqui, vamos definir 2(x -2)raiz[5]x -1 -1 times raiz[5]x -1^4 + raiz[5]x -1^3 + raiz[5]x -1^2 + raiz[5]x -1 +1raiz[5]x -1^4 + raiz[5]x -1^3 + raiz[5]x -1^2 + raiz[5]x -1 +1 e (raiz[5]x-1)^5 -1^5 = x -1 -1 = x -2 . Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão resultante da fatoração:
No denominador, isso simplifica para:

Passo 5

Após a simplificação, a expressão fica:
2(x -2)(raiz[5]x -1^4 + raiz[5]x -1^3 + raiz[5]x -1^2 + raiz[5]x -1 +1)x -2
Podemos cancelar o termo 2(raiz[5]x -1^4 + raiz[5]x -1^3 + raiz[5]x -1^2 + raiz[5]x -1 +1) :

Passo 6

Agora, substituímos 2( raiz[5]2-1^4 + raiz[5]2-1^3 + raiz[5]2-1^2 + raiz[5]2-1 +1 ) = 2(1^4 +1^3 +1^2 +1 +1) = 2(1+1+1+1+1) = 2 times 5 = 10 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 10.

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f(x)=5+4 cos (5 x)+pi^x^2 sen(x^2+4x^2)
determine lim x 0 f(x).
Sabendo-se que a e b são números reais que tornam a função f: R R, definida por
f(x)=llc 2 x-a+b, & se & x<-2 a x^2-b x-6, & se & -2 <= x <= 2 x^2-4x-2, & se & x>2
contínua em todo R, determine o valor de S, onde S=a-3 b.