Escolha uma das três cônicas para representar graficamente, usando os dados a seguir:
OPÇÃO I: Elipse x^24+y^29=1
OPÇÃO II: Hipérbole x^29-y^216=1
OPÇÃO III: Parábola y^2=6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de representar graficamente uma das três cônicas que o professor deu. As opções são uma elipse, uma hipérbole e uma parábola. Vamos focar na Opção I: Elipse com a equação x^24+y^29=1. Para isso, vamos precisar entender o que é uma elipse, identificar seus elementos principais e usar esses dados para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva simétrica onde a soma das distâncias de dois pontos fixos chamados focos para qualquer ponto na curva é constante. A equação geral de uma elipse centrada na origem é x^2a^2+y^2b^2=1, onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical.

Passo 3

Na nossa equação, x^24+y^29=1, podemos identificar que a^2 = 4 e b^2 = 9. Então, calculando a e b:
  • a = raiz4 = 2
  • b = raiz9 = 3
Isso significa que o semi-eixo horizontal tem comprimento 2 e o semi-eixo vertical tem comprimento 3.

Passo 4

Agora, vamos identificar os focos da elipse. A distância dos focos em uma elipse é dada por c = raizb^2 - a^2. Substituindo os valores:
c = raiz9 - 4 = raiz5 approx 2,24
Então, os focos estão localizados a aproximadamente 2,24 unidades do centro ao longo do eixo vertical, já que b > a.

Passo 5

Para desenhar a elipse, sigamos esses passos:
  1. Centro: Está na origem (0,0).
  2. Eixos:
    • Semi-eixo horizontal (a): 2 unidades para a direita e esquerda do centro, nos pontos (2,0) e (-2,0).
    • Semi-eixo vertical (b): 3 unidades acima e abaixo do centro, nos pontos (0,3) e (0,-3).
  3. Focos: Aproximadamente nos pontos (0,2,24) e (0,-2,24).
  4. Desenho: Comece marcando os pontos dos eixos, depois desenhe uma curva suave passando pelos pontos dos semi-eixos, garantindo que a distância dos focos para qualquer ponto na curva seja constante.

Passo 6

Vamos resumir os pontos principais para desenhar a elipse:
  • Centro em (0,0)
  • Eixos de comprimento 4 (horizontal) e 6 (vertical)
  • Focos a aproximadamente 2,24 unidades acima e abaixo do centro
Com essas informações, você consegue traçar a elipse no plano cartesiano de maneira precisa!

Resposta

A elipse com equação x^24+y^29=1 tem centro na origem, semi-eixo horizontal de 2 unidades, semi-eixo vertical de 3 unidades e focos a aproximadamente (0, 2,24) e (0, -2,24). Com esses elementos, o gráfico pode ser desenhado seguindo os passos explicados.

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