Escolha uma das três cônicas para representar graficamente, usando os dados a seguir:
OPÇÃO I: Elipse
OPÇÃO II: Hipérbole
OPÇÃO III: Parábola

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de representar graficamente uma das três cônicas que o professor deu. As opções são uma elipse, uma hipérbole e uma parábola. Vamos focar na Opção I: Elipse com a equação . Para isso, vamos precisar entender o que é uma elipse, identificar seus elementos principais e usar esses dados para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva simétrica onde a soma das distâncias de dois pontos fixos chamados focos para qualquer ponto na curva é constante. A equação geral de uma elipse centrada na origem é , onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical.

Passo 3

Na nossa equação, , podemos identificar que e . Então, calculando a e b:
Isso significa que o semi-eixo horizontal tem comprimento 2 e o semi-eixo vertical tem comprimento 3.

Passo 4

Agora, vamos identificar os focos da elipse. A distância dos focos em uma elipse é dada por . Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a aproximadamente 2,24 unidades do centro ao longo do eixo vertical, já que .

Passo 5

Para desenhar a elipse, sigamos esses passos:
  1. Centro: Está na origem (0,0).
  2. Eixos:
    • Semi-eixo horizontal (a): 2 unidades para a direita e esquerda do centro, nos pontos (2,0) e (-2,0).
    • Semi-eixo vertical (b): 3 unidades acima e abaixo do centro, nos pontos (0,3) e (0,-3).
  3. Focos: Aproximadamente nos pontos (0,2,24) e (0,-2,24).
  4. Desenho: Comece marcando os pontos dos eixos, depois desenhe uma curva suave passando pelos pontos dos semi-eixos, garantindo que a distância dos focos para qualquer ponto na curva seja constante.

Passo 6

Vamos resumir os pontos principais para desenhar a elipse:
  • Centro em (0,0)
  • Eixos de comprimento 4 (horizontal) e 6 (vertical)
  • Focos a aproximadamente 2,24 unidades acima e abaixo do centro
Com essas informações, você consegue traçar a elipse no plano cartesiano de maneira precisa!

Resposta

A elipse com equação tem centro na origem, semi-eixo horizontal de 2 unidades, semi-eixo vertical de 3 unidades e focos a aproximadamente (0, 2,24) e (0, -2,24). Com esses elementos, o gráfico pode ser desenhado seguindo os passos explicados.

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Mostre que o subconjunto de dado por
é um subespaço vetorial de .