Escolha uma das três cônicas para representar graficamente, usando os dados a seguir:
OPÇÃO I: Elipse
OPÇÃO II: Hipérbole
OPÇÃO III: Parábola
OPÇÃO I: Elipse
OPÇÃO II: Hipérbole
OPÇÃO III: Parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de representar graficamente uma das três cônicas que o professor deu. As opções são uma elipse, uma hipérbole e uma parábola. Vamos focar na Opção I: Elipse com a equação
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma elipse, identificar seus elementos principais e usar esses dados para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva simétrica onde a soma das distâncias de dois pontos fixos chamados focos para qualquer ponto na curva é constante. A equação geral de uma elipse centrada na origem é
, onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical.
Passo 3
Na nossa equação,
, podemos identificar que
e
. Então, calculando a e b:
Isso significa que o semi-eixo horizontal tem comprimento 2 e o semi-eixo vertical tem comprimento 3.
Passo 4
Agora, vamos identificar os focos da elipse. A distância dos focos em uma elipse é dada por
. Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a aproximadamente 2,24 unidades do centro ao longo do eixo vertical, já que
.
Passo 5
Para desenhar a elipse, sigamos esses passos:
- Centro: Está na origem (0,0).
- Eixos:
- Semi-eixo horizontal (a): 2 unidades para a direita e esquerda do centro, nos pontos (2,0) e (-2,0).
- Semi-eixo vertical (b): 3 unidades acima e abaixo do centro, nos pontos (0,3) e (0,-3).
- Focos: Aproximadamente nos pontos (0,2,24) e (0,-2,24).
- Desenho: Comece marcando os pontos dos eixos, depois desenhe uma curva suave passando pelos pontos dos semi-eixos, garantindo que a distância dos focos para qualquer ponto na curva seja constante.
Passo 6
Vamos resumir os pontos principais para desenhar a elipse:
- Centro em (0,0)
- Eixos de comprimento 4 (horizontal) e 6 (vertical)
- Focos a aproximadamente 2,24 unidades acima e abaixo do centro
Com essas informações, você consegue traçar a elipse no plano cartesiano de maneira precisa!
Resposta
A elipse com equação
tem centro na origem, semi-eixo horizontal de 2 unidades, semi-eixo vertical de 3 unidades e focos a aproximadamente (0, 2,24) e (0, -2,24). Com esses elementos, o gráfico pode ser desenhado seguindo os passos explicados.
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Mostre que o subconjunto de
dado por
é um subespaço vetorial de
.