Mostre que o subconjunto de M2 times 2(R) dado por
W=(cc x & y z & t ) ; x-y-z=0
é um subespaço vetorial de M2 times 2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O é definido por todas as matrizes onde . Para isso, vamos precisar conhecer os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é o vetor zero em 0 & 0 0 & 0 . É a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos verificar se essa matriz pertence a .

Passo 3

Para a matriz zero, temos 0 - 0 - 0 = 0 , e . Substituindo na equação :
Como a igualdade é verdadeira, a matriz zero pertence a . Isso confirma o primeiro critério para ser um subespaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos verificar se A = x1 & y1 z1 & t1 , B = x2 & y2 z2 & t2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegar duas matrizes quaisquer de x1 - y1 - z1 = 0 e somá-las, a soma também deve pertencer a x2 - y2 - z2 = 0 .
Sejam duas matrizes em A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & t1 + t2 :
Sabemos que:
Vamos somar e :
Precisamos verificar se .

Passo 5

Fazendo a conta:
(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 - y1 - z1) + (x2 - y2 - z2) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que a soma também satisfaz a condição , ou seja, . Então, é fechado sob adição.

Passo 6

Agora, vamos verificar se A = x & y z & t é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer matriz de cA = c x & c y c z & c t por um escalar real , o resultado também deve estar em .
Tomemos uma matriz em :
Sabemos que . Vamos multiplicar por :
Precisamos verificar se .

Passo 7

Fazendo a conta:
c x - c y - c z = c(x - y - z) = c cdot 0 = 0
Isso mostra que também satisfaz a condição , ou seja, . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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