Mostre que o subconjunto de
dado por
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. O
é definido por todas as matrizes onde
. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é o vetor zero em
. É a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos verificar se essa matriz pertence a
.
Passo 3
Para a matriz zero, temos
,
e
. Substituindo na equação
:
Como a igualdade é verdadeira, a matriz zero pertence a
. Isso confirma o primeiro critério para ser um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegar duas matrizes quaisquer de
e somá-las, a soma também deve pertencer a
.
Sejam duas matrizes em
:
Sabemos que:
Vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
.
Passo 5
Fazendo a conta:
Isso mostra que a soma
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer matriz de
por um escalar real
, o resultado também deve estar em
.
Tomemos uma matriz
em
:
Sabemos que
. Vamos multiplicar
por
:
Precisamos verificar se
.
Passo 7
Fazendo a conta:
Isso mostra que
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.