Escreva as equações a seguir na forma (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, determinando o centro e o raio das circunferências.
x^2+2 x+y^2-2 y=2.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação de uma circunferência: . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma canônica , onde é o centro da circunferência e é o raio. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para os termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de x^2 + 2x + y^2 - 2y = 2 e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (22)^2 = 1 . Pegamos o coeficiente de x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 - 2y = 2 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 1)^2 - 1 + y^2 - 2y = 2
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso nos permite reescrever a parte de :

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de (-22)^2 = 1 . O coeficiente de (x + 1)^2 - 1 + y^2 - 2y + 1 - 1 = 2 é -2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 2
Adicionamos e subtraímos 1:
Reescrevendo a parte de :

Passo 5

Vamos agora simplificar a equação somando os termos constantes:
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 2
Adicionando 2 em ambos os lados:
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4

Resposta

A forma canônica da circunferência é . Portanto, o centro da circunferência é e o seu raio é .

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