(e) Escolhendo f(x) = sen x, qual deve ser a escolha para g'(x) ? Calcule f'(x) e g(x) e substitua na fórmula de integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a técnica de integração por partes. A gente vai escolher . Para resolver, precisamos decidir qual vai ser . Também precisamos encontrar a derivada de , que é , e depois integrar para achar . Vamos precisar usar a fórmula da integração por partes, que é:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher . Como a integração por partes funciona melhor quando uma das funções fica mais simples após derivar ou integrar, a gente escolhe . Isso porque a integral de 1 é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Sabemos que:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar integrando :

Passo 5

Agora, vamos substituir , , na fórmula da integração por partes:

Resposta

A substituição na fórmula da integração por partes nos dá:

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