Escreva v=[r9 -3 16] como uma combinação linear de u1=[l1 2 3], u2=[r2 5 -1], u3=[r4 -2 3].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever o vetor 9 -3 16 como uma combinação linear dos vetores 1 2 3, 2 5 -1 e 4 -2 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear que nos permita escrever 9 -3 16 = a 1 2 3 + b 2 5 -1 + c 4 -2 3 como , onde , e são números que precisamos encontrar. Isso significa que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear e igualar cada componente dos vetores:
9 -3 16 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 4 a cdot 2 + b cdot 5 + c cdot (-2) a cdot 3 + b cdot (-1) + c cdot 3
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a + 2b + 4c = 9 2a + 5b - 2c = -3 3a - b + 3c = 16

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar (2a + 5b - 2c) - 2(a + 2b + 4c) = -3 - 2 cdot 9 2a + 5b - 2c - 2a - 4b - 8c = -3 - 18 b - 10c = -21 (Equação 4) , (3a - b + 3c) - 3(a + 2b + 4c) = 16 - 3 cdot 9 3a - b + 3c - 3a - 6b - 12c = 16 - 27 -7b - 9c = -11 (Equação 5) e b - 10c = -21 -7b - 9c = -11 . Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar :
çã
Em seguida, multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira para eliminar :
çã
Agora temos um sistema com duas equações:

Passo 5

Vamos resolver esse novo sistema. Da primeira equação, podemos isolar b = 10c - 21 :
-7(10c - 21) - 9c = -11 -70c + 147 - 9c = -11 -79c = -158 c = 2
Substituímos essa expressão na segunda equação:
b = 10 cdot 2 - 21 = 20 - 21 = -1
Agora que temos a + 2(-1) + 4(2) = 9 a - 2 + 8 = 9 a + 6 = 9 a = 3 , substituímos de volta na expressão para :
Por fim, substituímos e na primeira equação original para encontrar :

Resposta

Portanto, o vetor v = 3u1 - u2 + 2u3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Sejam u=(1,2), v=(m,-4) e w=(3, n) vetores de R^2. Se w=2 u-v, então
(A) m+n=0
(B) m+n=-4
© m=3 n
(D) m cdot n=-8
(E) m n=1
Dentre os métodos diretos utilizados para a resoluçäo de sistemas de equaçöes lineares, estão os de
(A) eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan.
(B) eliminação de Gauss e de Gauss-Jacobi.
© decomposição LU e de Gauss-Jacobi.
(D) decomposiçăo LU e de Gauss-Seidel.
(E) Gauss-Seidel e de Gauss-Jordan.
Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[l y1 y2 y3 ]=[lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 ][l x1 x2 x3 ]
Sua matriz é simétrica e tem solução se:
(A) a equação característica da matriz for nula.
(B) a equação caracteristica da matriz for positiva.
© os autovetores da matriz forem todos positivos.
(D) o determinante da matriz for nulo.
(E) os autovalores da matriz forem todos positivos.
As tensões principais atuantes em um ponto material de uma estrutura podem ser determinadas pela solução do problema de autovalor, expresso por (sigma-sigma I) lambda=0, onde sigma é o tensor das tensōes, ô é uma tensão principal, I é a matriz identidade e lambda é um vetor com os cossenos diretores. Os valores de sigma, em MPa, referentes ao tensor sigma=[ll1 & 2 2 & 1] MPa valem
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1