Escreva v=[r9 -3 16] como uma combinação linear de u1=[l1 2 3], u2=[r2 5 -1], u3=[r4 -2 3].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever o vetor 9 -3 16 como uma combinação linear dos vetores 1 2 3, 2 5 -1 e 4 -2 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear que nos permita escrever 9 -3 16 = a 1 2 3 + b 2 5 -1 + c 4 -2 3 como , onde , e são números que precisamos encontrar. Isso significa que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear e igualar cada componente dos vetores:
9 -3 16 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 4 a cdot 2 + b cdot 5 + c cdot (-2) a cdot 3 + b cdot (-1) + c cdot 3
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a + 2b + 4c = 9 2a + 5b - 2c = -3 3a - b + 3c = 16

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar (2a + 5b - 2c) - 2(a + 2b + 4c) = -3 - 2 cdot 9 2a + 5b - 2c - 2a - 4b - 8c = -3 - 18 b - 10c = -21 (Equação 4) , (3a - b + 3c) - 3(a + 2b + 4c) = 16 - 3 cdot 9 3a - b + 3c - 3a - 6b - 12c = 16 - 27 -7b - 9c = -11 (Equação 5) e b - 10c = -21 -7b - 9c = -11 . Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar :
çã
Em seguida, multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira para eliminar :
çã
Agora temos um sistema com duas equações:

Passo 5

Vamos resolver esse novo sistema. Da primeira equação, podemos isolar b = 10c - 21 :
-7(10c - 21) - 9c = -11 -70c + 147 - 9c = -11 -79c = -158 c = 2
Substituímos essa expressão na segunda equação:
b = 10 cdot 2 - 21 = 20 - 21 = -1
Agora que temos a + 2(-1) + 4(2) = 9 a - 2 + 8 = 9 a + 6 = 9 a = 3 , substituímos de volta na expressão para :
Por fim, substituímos e na primeira equação original para encontrar :

Resposta

Portanto, o vetor v = 3u1 - u2 + 2u3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e da seguinte forma:

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