As tensões principais atuantes em um ponto material de uma estrutura podem ser determinadas pela solução do problema de autovalor, expresso por (sigma-sigma I) lambda=0, onde sigma é o tensor das tensōes, ô é uma tensão principal, I é a matriz identidade e lambda é um vetor com os cossenos diretores. Os valores de sigma, em MPa, referentes ao tensor sigma=[ll1 & 2 2 & 1] MPa valem
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensões principais em uma estrutura. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente sobre autovalores (também chamados de valores próprios). Vamos lá descobrir quais são as tensões principais para o tensor das tensões dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são tensões principais. Em uma estrutura, as tensões principais são as tensões máximas e mínimas que atuam em um ponto, e elas ocorrem em direções específicas chamadas de direções principais. Para encontrar essas tensões, a gente resolve um problema de autovalor associado ao tensor de tensões.

Passo 3

O tensor das tensões que a gente tem é uma matriz:
sigma = 1 & 2 2 & 1 , MPa
Queremos encontrar os autovalores det(sigma - sigma I) = 0 dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz sigma - sigma I = 1 - sigma & 2 2 & 1 - sigma :
det(sigma - sigma I) = (1 - sigma)(1 - sigma) - (2 times 2) = (1 - sigma)^2 - 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de (1 - sigma)^2 - 4 = 0 :
1 - 2sigma + sigma^2 - 4 = 0 sigma^2 - 2sigma - 3 = 0
Vamos expandir e simplificar essa equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática sigma = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 usando a fórmula de Bhaskara:
sigma1 = 2 + 42 = 3 sigma2 = 2 - 42 = -1
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

As tensões principais são 3 MPa e -1 MPa. Portanto, a resposta correta é a opção (D) 3 e -1.

Exercícios relacionados

Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[l y1 y2 y3 ]=[lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 ][l x1 x2 x3 ]
Sua matriz é simétrica e tem solução se:
(A) a equação característica da matriz for nula.
(B) a equação caracteristica da matriz for positiva.
© os autovetores da matriz forem todos positivos.
(D) o determinante da matriz for nulo.
(E) os autovalores da matriz forem todos positivos.
Escreva v=[r9 -3 16] como uma combinação linear de u1=[l1 2 3], u2=[r2 5 -1], u3=[r4 -2 3].
O sistema de equaçōes lineares Ym times 1=Am times x cdot Xn 11, no qual Ym times 1 é conhecido, tem soluçăo Xn times 1=Mn times m cdot Ym times 1, uma vez determinada a matriz M, dada por
(A) A^-1
(B) A^top
© (A^top cdot A) cdot A^-1
(D) (A^top cdot A)^-1 cdot A^top
(E) (A^top cdot A)^top cdot A^-1
Supondo B=[ll1 & 3 2 & 7], através da definição de matriz inversa, determinar:
(B^t)^-1;