Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensões principais em uma estrutura. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente sobre autovalores (também chamados de valores próprios). Vamos lá descobrir quais são as tensões principais para o tensor das tensões dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são tensões principais. Em uma estrutura, as tensões principais são as tensões máximas e mínimas que atuam em um ponto, e elas ocorrem em direções específicas chamadas de direções principais. Para encontrar essas tensões, a gente resolve um problema de autovalor associado ao tensor de tensões.
Passo 3
O tensor das tensões que a gente tem é uma matriz:
Queremos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de :
Vamos expandir e simplificar essa equação:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
As tensões principais são 3 MPa e -1 MPa. Portanto, a resposta correta é a opção (D) 3 e -1.