As tensões principais atuantes em um ponto material de uma estrutura podem ser determinadas pela solução do problema de autovalor, expresso por
, onde
é o tensor das tensōes, ô é uma tensão principal, I é a matriz identidade e
é um vetor com os cossenos diretores. Os valores de
, em
, referentes ao tensor
valem
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensões principais em uma estrutura. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra linear, principalmente sobre autovalores (também chamados de valores próprios). Vamos lá descobrir quais são as tensões principais para o tensor das tensões dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são tensões principais. Em uma estrutura, as tensões principais são as tensões máximas e mínimas que atuam em um ponto, e elas ocorrem em direções específicas chamadas de direções principais. Para encontrar essas tensões, a gente resolve um problema de autovalor associado ao tensor de tensões.
Passo 3
O tensor das tensões que a gente tem é uma matriz:
Queremos encontrar os autovalores
dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de
:
Vamos expandir e simplificar essa equação:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
As tensões principais são 3 MPa e -1 MPa. Portanto, a resposta correta é a opção (D) 3 e -1.