Sejam u=(1,2), v=(m,-4) e w=(3, n) vetores de R^2. Se w=2 u-v, então
(A) m+n=0
(B) m+n=-4
© m=3 n
(D) m cdot n=-8
(E) m n=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve vetores no espaço R^2. Temos três vetores u = (1, 2), v = (m, -4) e w = (3, n). A relação dada é w = 2u - v. Nosso objetivo é encontrar os valores de m e n que satisfazem essa equação e, com isso, determinar qual das alternativas (A) a (E) está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação w = 2u - v. Isso quer dizer que cada componente de w é igual a duas vezes a componente correspondente de u menos a componente correspondente de v. Vamos escrever isso componente a componente.

Passo 3

Vamos comparar as componentes x e y das equações vetoriais:
w1 = 2u1 - v1 w2 = 2u2 - v2
Substituindo os valores conhecidos:
3 = 2 times 1 - m n = 2 times 2 - (-4)

Passo 4

Resolvendo a primeira equação para encontrar m:
3 = 2 - m -m = 3 - 2 -m = 1 m = -1

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação para encontrar n:
n = 4 - (-4) n = 4 + 4 n = 8

Passo 6

Com os valores de m e n encontrados, vamos verificar qual das alternativas está correta. Vamos calcular m times n:
m times n = (-1) times 8 = -8

Resposta

A alternativa correta é a (D) m cdot n=-8.

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