Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com uma matriz simétrica. A pergunta é: Sob quais condições essa matriz terá uma solução? Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinante, autovalores e propriedades das matrizes simétricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, lembra que um sistema de equações lineares do tipo tem solução única se a matriz dos coeficientes for invertível. E uma matriz é invertível se seu determinante não for zero. Então, uma das opções fala sobre o determinante.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Essas matrizes têm uma propriedade bem legal: seus autovalores (ou seja, os valores que resolvem a equação característica) são sempre números reais. Isso facilita bastante na hora de analisar se a matriz é invertível ou não.
Passo 4
Autovalores positivos indicam que a matriz é definida positiva, o que, além de garantir que a matriz é invertível, também assegura outras propriedades úteis. Se todos os autovalores são positivos, então nenhum deles é zero, o que significa que o determinante também não é zero (já que o determinante é o produto dos autovalores).
Passo 5
Vamos analisar as opções:
(A) Fala sobre a equação característica ser nula, mas isso não faz sentido porque a equação característica igual a zero é justamente o que define os autovalores.
(B) A equação característica ser positiva não é uma condição clara ou padrão.