Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[l y1 y2 y3 ]=[lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 ][l x1 x2 x3 ]
Sua matriz é simétrica e tem solução se:
(A) a equação característica da matriz for nula.
(B) a equação caracteristica da matriz for positiva.
© os autovetores da matriz forem todos positivos.
(D) o determinante da matriz for nulo.
(E) os autovalores da matriz forem todos positivos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com uma matriz simétrica. A pergunta é: Sob quais condições essa matriz terá uma solução? Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinante, autovalores e propriedades das matrizes simétricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, lembra que um sistema de equações lineares do tipo tem solução única se a matriz dos coeficientes for invertível. E uma matriz é invertível se seu determinante não for zero. Então, uma das opções fala sobre o determinante.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Essas matrizes têm uma propriedade bem legal: seus autovalores (ou seja, os valores que resolvem a equação característica) são sempre números reais. Isso facilita bastante na hora de analisar se a matriz é invertível ou não.

Passo 4

Autovalores positivos indicam que a matriz é definida positiva, o que, além de garantir que a matriz é invertível, também assegura outras propriedades úteis. Se todos os autovalores são positivos, então nenhum deles é zero, o que significa que o determinante também não é zero (já que o determinante é o produto dos autovalores).

Passo 5

Vamos analisar as opções:
  • (A) Fala sobre a equação característica ser nula, mas isso não faz sentido porque a equação característica igual a zero é justamente o que define os autovalores.
  • (B) A equação característica ser positiva não é uma condição clara ou padrão.
  • © Autovetores positivos não garantem a invertibilidade da matriz.
  • (D) Se o determinante for nulo, a matriz não é invertível, ou seja, não teria solução única.
  • (E) Se todos os autovalores forem positivos, a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem solução.

Resposta

A alternativa (E) os autovalores da matriz forem todos positivos é a correta.

Exercícios relacionados

Escreva v=[r9 -3 16] como uma combinação linear de u1=[l1 2 3], u2=[r2 5 -1], u3=[r4 -2 3].
Sejam u=(1,2), v=(m,-4) e w=(3, n) vetores de R^2. Se w=2 u-v, então
(A) m+n=0
(B) m+n=-4
© m=3 n
(D) m cdot n=-8
(E) m n=1
As tensões principais atuantes em um ponto material de uma estrutura podem ser determinadas pela solução do problema de autovalor, expresso por (sigma-sigma I) lambda=0, onde sigma é o tensor das tensōes, ô é uma tensão principal, I é a matriz identidade e lambda é um vetor com os cossenos diretores. Os valores de sigma, em MPa, referentes ao tensor sigma=[ll1 & 2 2 & 1] MPa valem
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1
O sistema de equaçōes lineares Ym times 1=Am times x cdot Xn 11, no qual Ym times 1 é conhecido, tem soluçăo Xn times 1=Mn times m cdot Ym times 1, uma vez determinada a matriz M, dada por
(A) A^-1
(B) A^top
© (A^top cdot A) cdot A^-1
(D) (A^top cdot A)^-1 cdot A^top
(E) (A^top cdot A)^top cdot A^-1