Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[l y1 y2 y3 ]=[lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 ][l x1 x2 x3 ]
Sua matriz é simétrica e tem solução se:
(A) a equação característica da matriz for nula.
(B) a equação caracteristica da matriz for positiva.
© os autovetores da matriz forem todos positivos.
(D) o determinante da matriz for nulo.
(E) os autovalores da matriz forem todos positivos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com uma matriz simétrica. A pergunta é: Sob quais condições essa matriz terá uma solução? Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinante, autovalores e propriedades das matrizes simétricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, lembra que um sistema de equações lineares do tipo tem solução única se a matriz dos coeficientes for invertível. E uma matriz é invertível se seu determinante não for zero. Então, uma das opções fala sobre o determinante.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Essas matrizes têm uma propriedade bem legal: seus autovalores (ou seja, os valores que resolvem a equação característica) são sempre números reais. Isso facilita bastante na hora de analisar se a matriz é invertível ou não.

Passo 4

Autovalores positivos indicam que a matriz é definida positiva, o que, além de garantir que a matriz é invertível, também assegura outras propriedades úteis. Se todos os autovalores são positivos, então nenhum deles é zero, o que significa que o determinante também não é zero (já que o determinante é o produto dos autovalores).

Passo 5

Vamos analisar as opções:
  • (A) Fala sobre a equação característica ser nula, mas isso não faz sentido porque a equação característica igual a zero é justamente o que define os autovalores.
  • (B) A equação característica ser positiva não é uma condição clara ou padrão.
  • © Autovetores positivos não garantem a invertibilidade da matriz.
  • (D) Se o determinante for nulo, a matriz não é invertível, ou seja, não teria solução única.
  • (E) Se todos os autovalores forem positivos, a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem solução.

Resposta

A alternativa (E) os autovalores da matriz forem todos positivos é a correta.

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