Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional (p e q) ou (r e s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional . Isso está relacionado à matéria de Lógica Proposicional, especificamente trabalhando com conectivos lógicos como conjunção ( e) e disjunção ( vee). Para isso, vamos precisar entender como construir árvores dedutivas e aplicar as regras de inferência lógica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma árvore dedutiva. É uma forma de representar visualmente os processos de dedução lógica, onde partimos de premissas ou hipóteses e aplicamos regras para chegar a uma conclusão. Nesse caso, nossa conclusão é .

Passo 3

Vamos começar analisando a estrutura da nossa conclusão. Temos uma disjunção entre duas conjunções . Isso significa que para chegar a essa conclusão, podemos considerar duas possibilidades: ou ambos p e q são verdadeiros, ou ambos r e s são verdadeiros.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra da disjunção, que nos permite concluir que se pelo menos uma das alternativas for verdadeira, ent��o a disjunção também é verdadeira. Assim, vamos dividir nossa árvore em duas ramificações: uma para e outra para .

Passo 5

Em cada uma dessas ramificações, temos uma conjunção. Vamos aplicar a regra da conjunção, que nos diz que para a conjunção ser verdadeira, ambos os componentes precisam ser verdadeiros. Portanto, em cada ramo, vamos ter que mostrar que tanto p quanto q são verdadeiros na primeira ramificação, e que r e s são verdadeiros na segunda ramificação.

Passo 6

Vamos montar a árvore dedutiva de forma hierárquica:
  • No topo, colocamos a conclusão .
  • Essa conclusão se divide em duas premissas: p e q e .
  • Cada uma dessas premissas se divide ainda mais:
    • p e q se divide em p e q.
    • se divide em r e s.

Passo 7

Agora, representando isso em uma árvore dedutiva usando LaTeX, fica assim:

Resposta

A árvore dedutiva para a fórmula é:

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