Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional
. Isso está relacionado à matéria de Lógica Proposicional, especificamente trabalhando com conectivos lógicos como conjunção (
) e disjunção (
). Para isso, vamos precisar entender como construir árvores dedutivas e aplicar as regras de inferência lógica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma árvore dedutiva. É uma forma de representar visualmente os processos de dedução lógica, onde partimos de premissas ou hipóteses e aplicamos regras para chegar a uma conclusão. Nesse caso, nossa conclusão é
.
Passo 3
Vamos começar analisando a estrutura da nossa conclusão. Temos uma disjunção
entre duas conjunções
. Isso significa que para chegar a essa conclusão, podemos considerar duas possibilidades: ou ambos
e
são verdadeiros, ou ambos
e
são verdadeiros.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra da disjunção, que nos permite concluir que se pelo menos uma das alternativas for verdadeira, ent��o a disjunção também é verdadeira. Assim, vamos dividir nossa árvore em duas ramificações: uma para
e outra para
.
Passo 5
Em cada uma dessas ramificações, temos uma conjunção. Vamos aplicar a regra da conjunção, que nos diz que para a conjunção ser verdadeira, ambos os componentes precisam ser verdadeiros. Portanto, em cada ramo, vamos ter que mostrar que tanto
quanto
são verdadeiros na primeira ramificação, e que
e
são verdadeiros na segunda ramificação.
Passo 6
Vamos montar a árvore dedutiva de forma hierárquica:
- No topo, colocamos a conclusão
. - Essa conclusão se divide em duas premissas:
e . - Cada uma dessas premissas se divide ainda mais:
-
se divide em e . -
se divide em e .
-
Passo 7
Agora, representando isso em uma árvore dedutiva usando LaTeX, fica assim:
Resposta
A árvore dedutiva para a fórmula
é:
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Seja
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. Prove que se
é uma raíz de
e
, então
é uma raíz de
.
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supondo que
e
são verdadeiras.