Um paraquedista está caindo, partindo do repouso. O peso (paraquedas e paraquedista) é quilogramas. Sobre o paraquedas age uma força (devida á resistência do ar) proporcional a sua velocidade instantânea durante a queda. Supondo que a queda é vertical e o paraquedas se abre no momento do salto, descrever o movimento resultante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um paraquedista que está caindo junto com o paraquedas, começando do zero (sem velocidade inicial). A força que atua sobre ele é o peso, que é dado por (massa em quilogramas multiplicada pela gravidade). Além disso, tem a resistência do ar, que depende da velocidade com que ele está caindo. Aqui, vamos usar conceitos de Dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e a força de resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante ( ) é igual à massa ( ) multiplicada pela aceleração ( ):
No caso do paraquedista, temos duas forças atuando: o peso ( , onde é a aceleração da gravidade) puxando para baixo, e a força de resistência do ar ( ) puxando para cima.

Passo 3

A força de resistência do ar é proporcional à velocidade instantânea ( ) do paraquedista. Podemos expressar isso como:
onde é uma constante de proporcionalidade que depende das características do paraquedas e do paraquedista.

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical, temos:
Substituindo e :
Isso nos dá uma equação diferencial:

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial, buscamos uma solução para . A solução geral para essa equação é:
Isso mostra que a velocidade do paraquedista aumenta com o tempo, aproximando-se de uma velocidade terminal .

Resposta

O movimento do paraquedista é tal que sua velocidade aumenta exponencialmente até atingir uma velocidade terminal constante. Matematicamente, a velocidade em função do tempo é dada por:
Isso significa que, inicialmente, a velocidade aumenta rapidamente, mas conforme o tempo passa, a resistência do ar equilibra o peso, estabilizando a queda com velocidade constante.

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