Um paraquedista está caindo, partindo do repouso. O peso (paraquedas e paraquedista) é
quilogramas. Sobre o paraquedas age uma força (devida á resistência do ar) proporcional a sua velocidade instantânea durante a queda. Supondo que a queda é vertical e o paraquedas se abre no momento do salto, descrever o movimento resultante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um paraquedista que está caindo junto com o paraquedas, começando do zero (sem velocidade inicial). A força que atua sobre ele é o peso, que é dado por
(massa em quilogramas multiplicada pela gravidade). Além disso, tem a resistência do ar, que depende da velocidade com que ele está caindo. Aqui, vamos usar conceitos de Dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e a força de resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante (
) é igual à massa (
) multiplicada pela aceleração (
):
No caso do paraquedista, temos duas forças atuando: o peso (
, onde
é a aceleração da gravidade) puxando para baixo, e a força de resistência do ar (
) puxando para cima.
Passo 3
A força de resistência do ar é proporcional à velocidade instantânea (
) do paraquedista. Podemos expressar isso como:
onde
é uma constante de proporcionalidade que depende das características do paraquedas e do paraquedista.
Passo 4
Aplicando a Segunda Lei de Newton para o movimento vertical, temos:
Substituindo
e
:
Isso nos dá uma equação diferencial:
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial, buscamos uma solução para
. A solução geral para essa equação é:
Isso mostra que a velocidade do paraquedista aumenta com o tempo, aproximando-se de uma velocidade terminal
.
Resposta
O movimento do paraquedista é tal que sua velocidade aumenta exponencialmente até atingir uma velocidade terminal constante. Matematicamente, a velocidade em função do tempo é dada por:
Isso significa que, inicialmente, a velocidade aumenta rapidamente, mas conforme o tempo passa, a resistência do ar equilibra o peso, estabilizando a queda com velocidade constante.
Exercícios relacionados
Seja
um polinômio sobre
. Prove que se
é uma raíz de
e
, então
é uma raíz de
.
Um objeto de massa
está caindo verticalmente pela ação da gravidade, saindo do repouso. Estabeleça o problema de valor inicial e resolva a questão.
Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional
.
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
. Qual será o tempo de retorno a sua posição inicial?