Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole. As extremidades do eixo conjugado são (-2,0) e (2,0), e a excentricidade é 2 / raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole. Para isso, foram dadas as extremidades do eixo conjugado, que são (-2, 0) e (2, 0), e a excentricidade da hipérbole, que é . Vamos usar esses dados para montar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o eixo conjugado. Na hipérbole, o eixo conjugado é o eixo que é perpendiculares ao eixo principal (também chamado de eixo transverso). As extremidades do eixo conjugado são dadas como (-2, 0) e (2, 0), então sabemos que esse eixo está alinhado ao eixo 2b = 4 Rightarrow b = 2 .
A comprimento total do eixo conjugado é a distância entre esses dois pontos, que é , onde é um dos parâmetros da hipérbole. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a excentricidade da hipérbole, que é dada por e = ca . A excentricidade relaciona os parâmetros e da hipérbole pela fórmula:
Onde:
  • é a distância do centro aos focos.
  • é a distância do centro aos vértices principais.

Passo 4

Também sabemos que, para uma hipérbole, existe a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo ( 2raiz3 cdot a )^2 = a^2 + b^2 na equação acima, temos:
43a^2 = a^2 + b^2
Vamos resolver isso passo a passo:
43a^2 = a^2 + 4
Sabemos que 43a^2 - a^2 = 4 Rightarrow 13a^2 = 4 , então:
a^2 = 12 Rightarrow a = raiz12 = 2raiz3
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 5

Agora que temos os valores de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e x^212 - y^24 = 1 , podemos escrever a equação padrão da hipérbole. Como o eixo conjugado está no eixo , isso indica que a hipérbole é horizontal. A equação padrão para uma hipérbole horizontal centrada na origem é:
Substituindo e :

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^212 - y^24 = 1

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