Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole. As extremidades do eixo conjugado são
e
, e a excentricidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole. Para isso, foram dadas as extremidades do eixo conjugado, que são (-2, 0) e (2, 0), e a excentricidade da hipérbole, que é
. Vamos usar esses dados para montar a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o eixo conjugado. Na hipérbole, o eixo conjugado é o eixo que é perpendiculares ao eixo principal (também chamado de eixo transverso). As extremidades do eixo conjugado são dadas como (-2, 0) e (2, 0), então sabemos que esse eixo está alinhado ao eixo
.
A comprimento total do eixo conjugado é a distância entre esses dois pontos, que é
, onde
é um dos parâmetros da hipérbole. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a excentricidade da hipérbole, que é dada por
. A excentricidade relaciona os parâmetros
e
da hipérbole pela fórmula:
Onde:
-
é a distância do centro aos focos. -
é a distância do centro aos vértices principais.
Passo 4
Também sabemos que, para uma hipérbole, existe a relação:
Substituindo
na equação acima, temos:
Vamos resolver isso passo a passo:
Sabemos que
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a equação padrão da hipérbole. Como o eixo conjugado está no eixo
, isso indica que a hipérbole é horizontal. A equação padrão para uma hipérbole horizontal centrada na origem é:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
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