Verifique se cada um dos subconjuntos
de
é subespaço vetorial de
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e queremos verificar se ele é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se cumprir três condições básicas:
- Vetor zero: O vetor zero de
está em . - Fechamento por adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Fechamento por multiplicação escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo desse vetor também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Substituindo
:
Portanto,
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Verificando o fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
em
.
Sabemos que:
Vamos somar esses vetores:
Observamos que o segundo componente é duas vezes o primeiro componente. Portanto,
. Isso mostra que
é fechado por adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e um escalar
.
Sabemos que
. Vamos multiplicar o vetor por
:
Observamos novamente que o segundo componente é duas vezes o primeiro componente. Portanto,
. Assim,
é fechado por multiplicação escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado por adição e por multiplicação escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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e
, e a excentricidade é
.
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