Verifique se cada um dos subconjuntos W de V é subespaço vetorial de V ?
W=(x, y) in R^2 / y=2 x V=R^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto e queremos verificar se ele é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se cumprir três condições básicas:
  1. Vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechamento por adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Fechamento por multiplicação escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo desse vetor também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em y = 2x é y = 2 times 0 = 0 . Vamos ver se ele está em :
Substituindo :
Portanto, . A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Verificando o fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em y1 = 2x1 . Seja y2 = 2x2 e (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) em = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) .
Sabemos que:
= (x1 + x2, 2(x1 + x2))
Vamos somar esses vetores:
Observamos que o segundo componente é duas vezes o primeiro componente. Portanto, . Isso mostra que é fechado por adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot (x, y) = (c x, c y) , digamos = (c x, c cdot 2x) , e um escalar = (c x, 2(c x)) .
Sabemos que . Vamos multiplicar o vetor por :
Observamos novamente que o segundo componente é duas vezes o primeiro componente. Portanto, . Assim, é fechado por multiplicação escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado por adição e por multiplicação escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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