Verifique se cada um dos subconjuntos
de
é subespaço vetorial de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
e quer saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se:
- Ele contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero.
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como o vetor zero não está em
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial. Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores em
:
e
onde
e
.
Somando eles:
A nova coordenada
seria
, que não pode ser escrita como
. Portanto, a soma não está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor em
:
onde
, e multiplicar por um escalar
:
Para que
esteja em
, precisaríamos que
, ou seja:
Isso só é verdadeiro se
. Para outros valores de
, o resultado não está em
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.