Verifique se cada um dos subconjuntos de é subespaço vetorial de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto e quer saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se:
Ele contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos para o nosso conjunto .
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero.
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial. Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 4
2. Verificar se é fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores em : e onde e .
Somando eles:
A nova coordenada seria , que não pode ser escrita como . Portanto, a soma não está em .
Passo 5
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor em : onde , e multiplicar por um escalar :
Para que esteja em , precisaríamos que , ou seja:
Isso só é verdadeiro se . Para outros valores de , o resultado não está em .