Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos “separar” as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos expoentes:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com
estejam de um lado e os termos com
do outro. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos agora integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
:
Após a integração, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar a solução explícita para
, vamos resolver a equação
. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.