Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
y' = e^(t - y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos “separar” as variáveis e em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades dos expoentes:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com estejam de um lado e os termos com do outro. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos agora integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é :
Após a integração, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar a solução explícita para , vamos resolver a equação . Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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