Resolva cada item: Encontre um fator de integração mu(y) para a equação
x*y + (2*x^2 + 3*y^2 - 20) * dy/dx = 0
de forma a transformá-la numa equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
Nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante mu(y) que transforme essa equação em uma equação exata. Isso facilita bastante a resolução, porque equações exatas têm uma solução direta através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função tal que:
Para que isso aconteça, a condição necessária é que:
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a condição de exatidão já é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como a menos que x = 0, a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante mu(y) que, quando multiplicarmos ambos os lados da equação original por ele, a nova equação seja exata.

Passo 4

Vamos supor que o fator integrante depende apenas de y, ou seja, . Ao multiplicar a equação original por mu(y), temos:
Agora, para que essa nova equação seja exata, deve-se satisfazer:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 5

Primeiro:
Segundo:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por x (desde que x != 0):
Isso leva a:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para mu(y):
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos chamar de k e escolher k=1 para simplificar:

Resposta

O fator integrante que torna a equação exata é .

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