Resolva cada item: Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
Nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante
que transforme essa equação em uma equação exata. Isso facilita bastante a resolução, porque equações exatas têm uma solução direta através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para que isso aconteça, a condição necessária é que:
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a condição de exatidão já é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
a menos que
, a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicarmos ambos os lados da equação original por ele, a nova equação seja exata.
Passo 4
Vamos supor que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
. Ao multiplicar a equação original por
, temos:
Agora, para que essa nova equação seja exata, deve-se satisfazer:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 5
Primeiro:
Segundo:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso leva a:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
e escolher
para simplificar:
Resposta
O fator integrante que torna a equação exata é
.