Escreva cada equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, e resolva as equações que são exatas: 3x dx + 4y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação dada na forma e resolver as equações que são exatas. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente as Equações Exatas. Vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, sendo assim, como resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma . A equação que temos é . Assim, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar :
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que funciona como constante de integração.
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.
Então, a função completa é:

Resposta

A solução geral da equação é:

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