Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação dada na forma
e resolver as equações que são exatas. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente as Equações Exatas. Vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, sendo assim, como resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma
. A equação que temos é
. Assim, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que funciona como constante de integração.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Então, a função
completa é:
Resposta
A solução geral da equação é: