Escreva cada equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, e resolva as equações que são exatas: y' = x / (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial: . Nosso objetivo é reescrevê-la na forma e, em seguida, resolver a equação assumindo que ela é exata. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificar e resolver uma dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação dada na forma .
Lembrando que , podemos reescrever a equação como:
Multiplicando ambos os lados por e por , temos:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora que temos e , precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando as derivadas:
Como (0 ≠ -1), a equação não é exata inicialmente. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Vamos testar um fator que depende de .
Suponha que o fator integrante seja . Multiplicamos toda a equação por :
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Calculando as derivadas:
Igualando a zero:
Isso não resolve facilmente, então vamos tentar um fator integrante que dependa de .
Assumindo , multiplicamos a equação:
As derivadas ficam:
Igualando:
Isso implica:
Como essa relação não depende apenas de , também não é útil. Portanto, parece que não conseguimos encontrar um fator integrante simples, e a equação talvez não seja exata ou precise de um método diferente.

Resposta

A equação dada não é exata e, sem um fator integrante apropriado, não pode ser resolvida diretamente pela integração exata.

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