Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
. Nosso objetivo é reescrevê-la na forma
e, em seguida, resolver a equação assumindo que ela é exata. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificar e resolver uma dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação dada
na forma
.
Lembrando que
, podemos reescrever a equação como:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora que temos
e
, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando as derivadas:
Como
(0 ≠ -1), a equação não é exata inicialmente. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos testar um fator que depende de
.
Suponha que o fator integrante seja
. Multiplicamos toda a equação por
:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Calculando as derivadas:
Igualando a zero:
Isso não resolve facilmente, então vamos tentar um fator integrante que dependa de
.
Assumindo
, multiplicamos a equação:
As derivadas ficam:
Igualando:
Isso implica:
Como essa relação não depende apenas de
, também não é útil. Portanto, parece que não conseguimos encontrar um fator integrante simples, e a equação talvez não seja exata ou precise de um método diferente.
Resposta
A equação dada
não é exata e, sem um fator integrante apropriado, não pode ser resolvida diretamente pela integração exata.