Resolva cada uma dos PVIs seguintes: d y/d x = -y/x, y(1) = 3;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou: precisamos resolver a seguinte equação diferencial com uma condição inicial:
Então, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar o método apropriado. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação é:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro lado. Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar completamente as variáveis:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, podemos reescrever a equação para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar os termos:
Isso dá:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Podemos chamar de uma nova constante , já que também é uma constante:
Finalmente, resolvendo para :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados