Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou: precisamos resolver a seguinte equação diferencial com uma condição inicial:
Então, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar o método apropriado. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação é:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro lado. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar completamente as variáveis:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, podemos reescrever a equação para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar os termos:
Isso dá:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Podemos chamar
de uma nova constante
, já que
também é uma constante:
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: