Escreva cada equação na forma , e resolva as equações que são exatas: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que precisa ser escrita na forma . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar e e verificar se a equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada: . Sabemos que , então podemos substituir:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos de um lado:
Multiplicando ambos os lados por para deixar na forma :
Aqui, identificamos:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a derivada parcial de em relação a não inclui termos que dependem apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Assim, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Determinar a derivada das seguintes funções:
n)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Escreva cada equação na forma , e resolva as equações que são exatas: .
Determine o domínio.