Escreva cada equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, e resolva as equações que são exatas: 2xy y' = x^2 - y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que precisa ser escrita na forma . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar M(x, y) e N(x, y) e verificar se a equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada: . Sabemos que , então podemos substituir:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos de um lado:
Multiplicando ambos os lados por para deixar na forma :
Aqui, identificamos:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
Integramos M em relação a x:
Aqui, é uma função de y que aparece porque a derivada parcial de F em relação a x não inclui termos que dependem apenas de y.

Passo 6

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 7

Assim, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

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