Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que precisa ser escrita na forma
. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar
e
e verificar se a equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
. Sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos de um lado:
Multiplicando ambos os lados por
para deixar na forma
:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a derivada parcial de
em relação a
não inclui termos que dependem apenas de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Assim, a solução geral da equação é:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das seguintes funções:
n)
n)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
.
Determine o domínio.