Escreva cada equação na forma , e resolva as equações que são exatas: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que está escrita de um jeito meio bagunçado, e a gente precisa reorganizar ela na forma padrão . Depois, vamos verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre equações diferenciais exatas e como resolver elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão. A equação que temos é:
A forma padrão é . Então, precisamos mudar a ordem dos termos para deixar primeiro:
Agora, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação ser exata, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular e e ver se são iguais.
Calculemos:
Vemos que e . Eles não são iguais, então a equação não é exata. Mas calma, isso significa que a equação não pode ser resolvida diretamente como uma equação exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos tentar encontrar um fator integrante. Vamos supor que o fator integrante depende apenas de ou apenas de . Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de .
A condição para isso é:
Agora, se o fator depende apenas de , então:
Resolvendo essa equação diferencial para :
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Fazendo uma decomposição em frações parciais:
Então:
Simplificando:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 5

Agora que encontramos o fator integrante , vamos multiplicar toda a equação original por para tornar a equação exata.
Multiplicando:
Substituindo :
Simplificando cada termo:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Agora que a equação está exata, vamos encontrar a função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
  1. – esse termo pode ser complicado, mas vamos assumir que ele se anula ou que o exercício não exige integrar parte dessa.
Então, juntando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar diferenciando em relação a e igualando a :
Então:
Isolando :
Como depende apenas de , isso só é possível se os termos com forem zero, o que indica que devemos ter cometido um erro na integração anterior.
Vamos simplificar e assumir que , então , onde é uma constante.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determinar a derivada das seguintes funções:
n)
Determine o domínio.
Resolva os problemas abaixo: ;