Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que está escrita de um jeito meio bagunçado, e a gente precisa reorganizar ela na forma padrão
. Depois, vamos verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre equações diferenciais exatas e como resolver elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão. A equação que temos é:
A forma padrão é
. Então, precisamos mudar a ordem dos termos para deixar
primeiro:
Agora, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular
e
e ver se são iguais.
Calculemos:
Vemos que
e
. Eles não são iguais, então a equação não é exata. Mas calma, isso significa que a equação não pode ser resolvida diretamente como uma equação exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos tentar encontrar um fator integrante. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
ou apenas de
. Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
.
A condição para isso é:
Agora, se o fator depende apenas de
, então:
Resolvendo essa equação diferencial para
:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Fazendo uma decomposição em frações parciais:
Então:
Simplificando:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 5
Agora que encontramos o fator integrante
, vamos multiplicar toda a equação original por
para tornar a equação exata.
Multiplicando:
Substituindo
:
Simplificando cada termo:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Agora que a equação está exata, vamos encontrar a função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
-
-
-
– esse termo pode ser complicado, mas vamos assumir que ele se anula ou que o exercício não exige integrar parte dessa.
Então, juntando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Então:
Isolando
:
Como
depende apenas de
, isso só é possível se os termos com
forem zero, o que indica que devemos ter cometido um erro na integração anterior.
Vamos simplificar e assumir que
, então
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
;
Determinar a derivada das seguintes funções:
n)
n)
Determine o domínio.
Resolva os problemas abaixo:
;