Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem do tipo com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como aplicar a transformada nos termos da equação e como usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função é representada por . Lembrando que:
Então, aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando isso:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Resolvendo para :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Isso é um quadrado perfeito:
Então, nossa expressão fica:
Podemos dividir o numerador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Sabemos que:
Aplicando isso com :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Calcule:
Calcule:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.