Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem do tipo com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como aplicar a transformada nos termos da equação e como usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função é representada por . Lembrando que:
Então, aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando isso:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Resolvendo para :
Passo 4
Vamos simplificar o denominador . Isso é um quadrado perfeito:
Então, nossa expressão fica:
Podemos dividir o numerador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace: