Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função dada usando funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. Vamos usar conceitos de funções por partes e transformadas de Laplace para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de degrau unitário . A função original é uma função por partes que muda de valor no instante . Então, podemos expressar assim:
Aqui, é 1 quando e 0 caso contrário, e é 1 quando .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
E algumas propriedades importantes que vamos usar são:
  • A linearidade da transformada de Laplace, ou seja, .
  • A transformada de Laplace da função degrau unitário deslocada: .

Passo 4

Vamos aplicar a transformada de Laplace na expressão que obtivemos para :
Pela propriedade da linearidade:
Sabemos que:
E:
Então substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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