Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função dada usando funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. Vamos usar conceitos de funções por partes e transformadas de Laplace para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de degrau unitário
. A função original é uma função por partes que muda de valor no instante
. Então, podemos expressar
assim:
Aqui,
é 1 quando
e 0 caso contrário, e
é 1 quando
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
E algumas propriedades importantes que vamos usar são:
- A linearidade da transformada de Laplace, ou seja,
. - A transformada de Laplace da função degrau unitário deslocada:
.
Passo 4
Vamos aplicar a transformada de Laplace na expressão que obtivemos para
:
Pela propriedade da linearidade:
Sabemos que:
E:
Então substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: