Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente vai precisar saber o que é uma transformada de Laplace, como aplicá-la em uma equação diferencial e depois utilizar a transformada inversa para encontrar a solução final. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa , facilitando a resolução de equações diferenciais.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace, temos:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de como transformar cada termo:
Transformada da derivada:
onde é a transformada de e .
Transformada de :
Transformada de :
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm :
Agora, isolando :
Passo 5
Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais para facilitar: