Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente vai precisar saber o que é uma transformada de Laplace, como aplicá-la em uma equação diferencial e depois utilizar a transformada inversa para encontrar a solução final. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo em uma função de uma variável complexa , facilitando a resolução de equações diferenciais.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace, temos:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de como transformar cada termo:
  1. Transformada da derivada:
onde é a transformada de e .
  1. Transformada de :
  1. Transformada de :
Substituindo na equação:

Passo 4

Vamos reunir os termos que contêm :
Agora, isolando :

Passo 5

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais para facilitar:
Resolvendo a primeira fração:
Encontrando os valores de e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, substituindo de volta em :
Aplicando a transformada inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Calcule: