Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente vai precisar saber o que é uma transformada de Laplace, como aplicá-la em uma equação diferencial e depois utilizar a transformada inversa para encontrar a solução final. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
em uma função de uma variável complexa
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace, temos:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de como transformar cada termo:
- Transformada da derivada:
onde
é a transformada de
e
.
- Transformada de
:
- Transformada de
:
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm
:
Agora, isolando
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor
em frações parciais para facilitar:
Resolvendo a primeira fração:
Encontrando os valores de
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Agora, substituindo de volta em
:
Aplicando a transformada inversa:
Resposta
A solução da equação diferencial é: