Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso
determine sua negação.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar a proposição
e fazer três coisas:
- Escrever isso de forma mais fácil, em linguagem natural.
- Decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no conjunto dos números naturais (
). - Encontrar a negação dessa proposição.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem os quantificadores universais (
) e existenciais (
), além de saber como traduzir expressões matemáticas para uma linguagem mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a proposição
para uma linguagem mais simples.
A expressão
significa "para todo número natural
", e
significa "existe um número natural
". Então, a proposição completa fica:
"Para todo número natural
, existe um número natural
tal que a soma de
com
é maior que
."
Passo 3
Agora, vamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais (
).
Vamos analisar:
Para qualquer
em
, conseguimos encontrar um
que, quando somado a
, dá um número maior que
?
Sim, dá! Basta escolher
. Porque
, que é sempre maior que
.
Por exemplo:
- Se
, então dá . - Se
, então dá .
Portanto, a proposição é verdadeira no conjunto dos números naturais.
Passo 4
Agora, vamos determinar a negação da proposição original.
A proposição original é: "Para todo número natural
, existe um número natural
tal que
."
A negação de uma proposição universal existe assim:
- A negação de
é .
Em linguagem natural, isso fica:
"Existe um número natural
tal que, para todo número natural
, a soma de
com
não é maior que
."
Resposta
Resposta:
b) Tradução em linguagem natural: “Para todo número natural
, existe um número natural
tal que a soma de
com
é maior que
.”
Valor lógico no universo de discurso
: Verdadeira.
Negação da proposição: “Existe um número natural
tal que, para todo número natural
, a soma de
com
não é maior que
.”