Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar a proposição e fazer três coisas:
Escrever isso de forma mais fácil, em linguagem natural.
Decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no conjunto dos números naturais ().
Encontrar a negação dessa proposição.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem os quantificadores universais () e existenciais (), além de saber como traduzir expressões matemáticas para uma linguagem mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a proposição para uma linguagem mais simples.
A expressão significa "para todo número natural ", e significa "existe um número natural ". Então, a proposição completa fica:
"Para todo número natural , existe um número natural tal que a soma de com é maior que ."
Passo 3
Agora, vamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais ().
Vamos analisar:
Para qualquer em , conseguimos encontrar um que, quando somado a , dá um número maior que ?
Sim, dá! Basta escolher . Porque , que é sempre maior que .
Por exemplo:
Se , então dá .
Se , então dá .
Portanto, a proposição é verdadeira no conjunto dos números naturais.
Passo 4
Agora, vamos determinar a negação da proposição original.
A proposição original é: "Para todo número natural , existe um número natural tal que ."
A negação de uma proposição universal existe assim:
A negação de é .
Em linguagem natural, isso fica:
"Existe um número natural tal que, para todo número natural , a soma de com não é maior que ."
Resposta
Resposta:
b) Tradução em linguagem natural: “Para todo número natural , existe um número natural tal que a soma de com é maior que .”
Valor lógico no universo de discurso : Verdadeira.
Negação da proposição: “Existe um número natural tal que, para todo número natural , a soma de com não é maior que .”