Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente pegar a proposição e fazer três coisas:
  1. Escrever isso de forma mais fácil, em linguagem natural.
  2. Decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no conjunto dos números naturais ( ).
  3. Encontrar a negação dessa proposição.
Para resolver isso, vamos precisar entender bem os quantificadores universais ( ) e existenciais ( ), além de saber como traduzir expressões matemáticas para uma linguagem mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a proposição para uma linguagem mais simples.
A expressão significa "para todo número natural ", e significa "existe um número natural ". Então, a proposição completa fica:
"Para todo número natural , existe um número natural tal que a soma de com é maior que ."

Passo 3

Agora, vamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais ( ).
Vamos analisar:
Para qualquer em , conseguimos encontrar um que, quando somado a , dá um número maior que ?
Sim, dá! Basta escolher . Porque , que é sempre maior que .
Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
Portanto, a proposição é verdadeira no conjunto dos números naturais.

Passo 4

Agora, vamos determinar a negação da proposição original.
A proposição original é: "Para todo número natural , existe um número natural tal que ."
A negação de uma proposição universal existe assim:
  • A negação de é .
Em linguagem natural, isso fica:
"Existe um número natural tal que, para todo número natural , a soma de com não é maior que ."

Resposta

Resposta:
b) Tradução em linguagem natural: “Para todo número natural , existe um número natural tal que a soma de com é maior que .”
Valor lógico no universo de discurso : Verdadeira.
Negação da proposição: “Existe um número natural tal que, para todo número natural , a soma de com não é maior que .”

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
f)
O
a) Interprete o nome deste operador a partir da tabela.
V V F b) Mostre que .
V F V
F V V c) Verifique que e interprete
F F F essa equivalência lógica.
b) Mostre que .
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número é irracional.