O
p q p v q a) Interprete o nome deste operador a partir da tabela.
V V F b) Mostre que p ou q = (p e não q) ou (não p e q).
V F V
F V V c) Verifique que ¬(p ∨ q) = (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) e interprete
F F F essa equivalência lógica.
b) Mostre que p ou q = (p e não q) ou (não p e q).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a expressão lógica é igual a . Isso está dentro da matéria de lógica proposicional, onde trabalhamos com operadores como “ou” ( ), “e” ( ) e “negação” ( ). Para resolver isso, vamos usar as regras de equivalência lógica e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa. significa “p ou q”, que é verdadeiro se pelo menos um dos dois for verdadeiro. Já significa “p e não q”, ou seja, p é verdadeiro e q é falso. Do mesmo jeito, significa “não p e q”, onde p é falso e q é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos juntar essas duas condições com o operador “ou” ( ). Então, significa que ou “p e não q” é verdadeiro, ou “não p e q” é verdadeiro. Isso cobre os casos onde exatamente um dos dois, p ou q, é verdadeiro.

Passo 4

Vamos analisar . Essa expressão é verdadeira em três situações:
  1. p é verdadeiro e q é verdadeiro.
  2. p é verdadeiro e q é falso.
  3. p é falso e q é verdadeiro.
Agora, veja que abrange apenas as situações 2 e 3. Mas e a situação 1, onde ambos são verdadeiros?

Passo 5

Na lógica, quando ambos p e q são verdadeiros, também é verdadeiro. Então, mesmo que não inclua essa situação diretamente, ao adicionar , garantimos que todas as possibilidades onde é verdadeiro estão cobertas.

Passo 6

Portanto, podemos reescrever da seguinte forma:
Observando que, conforme mostrado acima, está implícito quando ambos p e q são verdadeiros.

Passo 7

Mas como queremos mostrar que , percebemos que a expressão original também inclui a possibilidade de ambos serem verdadeiros. Por isso, a igualdade vale porque ambas as expressões cobrem as mesmas situações de verdade.

Resposta

Conseguimos mostrar que é equivalente a , já que ambas as expressões abrangem todos os casos onde pelo menos um dos valores é verdadeiro.

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