Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso N determine sua negação.
d) forall m existe n (m <= n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente traduzir a proposição lógica forall m existe n (m <= n) para uma frase em linguagem comum, descobrir se essa proposição é verdadeira ou falsa dentro do conjunto dos números naturais ( N) e também encontrar a negação dessa proposição. Para isso, vamos precisar entender os quantificadores “para todo” ( ) e “existe” ( ), além de como eles se aplicam em lógica matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a proposição para linguagem natural. O símbolo significa “para todo” e significa “existe”. Então, forall m existe n (m <= n) pode ser traduzido como:
“Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é menor ou igual a n.”

Passo 3

Agora, vamos analisar se essa proposição é verdadeira ou falsa no conjunto dos números naturais ( N). Nos números naturais, para qualquer m que escolhermos, sempre podemos escolher n igual a m. Isso porque qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo. Por exemplo, se m = 5, escolhemos n = 5, e 5 ≤ 5 é verdadeiro.

Passo 4

Como conseguimos sempre encontrar um n que satisfaz a condição m ≤ n para qualquer m em N, a proposição é verdadeira no universo dos números naturais.

Passo 5

Agora, vamos determinar a negação da proposição original. A negação de “ forall m existe n (m <= n)” é “ ”. Em linguagem natural, isso fica:
“Existe um número natural m tal que, para todo número natural n, m é maior que n.”

Resposta

  1. Tradução em linguagem natural: “Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é menor ou igual a n.”
  2. Valor lógico no universo de N: Verdadeira.
  3. Negação da proposição: “Existe um número natural m tal que, para todo número natural n, m é maior que n.”

Exercícios relacionados