Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso
determine sua negação.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente traduzir a proposição lógica
para uma frase em linguagem comum, descobrir se essa proposição é verdadeira ou falsa dentro do conjunto dos números naturais (
) e também encontrar a negação dessa proposição. Para isso, vamos precisar entender os quantificadores “para todo” (
) e “existe” (
), além de como eles se aplicam em lógica matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a proposição para linguagem natural. O símbolo
significa “para todo” e
significa “existe”. Então,
pode ser traduzido como:
“Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é menor ou igual a n.”
Passo 3
Agora, vamos analisar se essa proposição é verdadeira ou falsa no conjunto dos números naturais (
). Nos números naturais, para qualquer m que escolhermos, sempre podemos escolher n igual a m. Isso porque qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo. Por exemplo, se m = 5, escolhemos n = 5, e 5 ≤ 5 é verdadeiro.
Passo 4
Como conseguimos sempre encontrar um n que satisfaz a condição m ≤ n para qualquer m em
, a proposição é verdadeira no universo dos números naturais.
Passo 5
Agora, vamos determinar a negação da proposição original. A negação de “
” é “
”. Em linguagem natural, isso fica:
“Existe um número natural m tal que, para todo número natural n, m é maior que n.”
Resposta
- Tradução em linguagem natural: “Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é menor ou igual a n.”
- Valor lógico no universo de
: Verdadeira. - Negação da proposição: “Existe um número natural m tal que, para todo número natural n, m é maior que n.”