Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A proposta aqui é pegar a proposição lógica e fazer algumas coisas com ela. Primeiro, vamos traduzir essa expressão para uma linguagem mais simples, que ela é verdadeira ou falsa dentro dos números naturais ( ), e depois descobrir qual é a negação dessa proposição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantificadores como “para todo” ( ) e “existe” ( ), além de como funcionam as desigualdades nos números naturais.

Passo 2

Vamos traduzir a proposição para o português: “Para todo número natural , existe um número natural tal que é maior ou igual a .” Ou seja, não importa qual número natural você escolher para , sempre dá para encontrar outro número natural que seja menor ou igual a ele.

Passo 3

Agora, vamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais. Pense bem: se eu escolher qualquer número natural , por exemplo, 5, eu consigo encontrar um número que seja menor ou igual a 5? Claro, pode ser 5, 4, 3, 2, 1, ou até mesmo 0 (se considerarmos 0 como natural). Isso vale para qualquer número que você escolher. Então, a proposição é verdadeira.

Passo 4

Vamos determinar a negação da proposição original. A negação de "Para todo , existe um tal que " é “Existe um número natural tal que para todo número natural , .” Em símbolos, seria . Isso significa que haveria pelo menos um número natural que é menor que todos os outros números naturais, o que, na prática, não acontece.

Resposta

A proposição em linguagem natural é: “Para todo número natural , existe um número natural tal que é maior ou igual a .” Ela é verdadeira no universo dos números naturais. A negação da proposição é: “Existe um número natural tal que, para todo número natural , é menor que .”

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d)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
j)
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
d) Por duas retas paralelas passa um só plano.
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
a)