Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso N determine sua negação.
g) ∀ m ∃ n (m ≥ n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A proposta aqui é pegar a proposição lógica ∀ m ∃ n (m ≥ n) e fazer algumas coisas com ela. Primeiro, vamos traduzir essa expressão para uma linguagem mais simples, que ela é verdadeira ou falsa dentro dos números naturais ( N), e depois descobrir qual é a negação dessa proposição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantificadores como “para todo” ( ) e “existe” ( ), além de como funcionam as desigualdades nos números naturais.

Passo 2

Vamos traduzir a proposição para o português: “Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é maior ou igual a n.” Ou seja, não importa qual número natural você escolher para m, sempre dá para encontrar outro número natural n que seja menor ou igual a ele.

Passo 3

Agora, vamos decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais. Pense bem: se eu escolher qualquer número natural m, por exemplo, 5, eu consigo encontrar um número n que seja menor ou igual a 5? Claro, pode ser 5, 4, 3, 2, 1, ou até mesmo 0 (se considerarmos 0 como natural). Isso vale para qualquer número que você escolher. Então, a proposição é verdadeira.

Passo 4

Vamos determinar a negação da proposição original. A negação de "Para todo m, existe um n tal que " é “Existe um número natural m tal que para todo número natural n, .” Em símbolos, seria . Isso significa que haveria pelo menos um número natural que é menor que todos os outros números naturais, o que, na prática, não acontece.

Resposta

A proposição em linguagem natural é: “Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é maior ou igual a n.” Ela é verdadeira no universo dos números naturais. A negação da proposição é: “Existe um número natural m tal que, para todo número natural n, m é menor que n.”

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